代数的整数論

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前篇 一般論[編集]

第1章 代数的整数[編集]

第2章 代数体の整数「イデアル」[編集]

本章では,与えられたる一つの代数体の内に於て,整除の関係を論ずる.その体をと名付け,それを次とする.文字にはこの意味を留保する.

大体はギリシャ文字などでに属する数,特に整数を表わし,英字などでは有理数,特に有理整数を表わすことにする.一々断わらないこともあろう.尤も例外の場合もある.

第3章 剰余類[編集]

第4章 「イデアル」の類別[編集]

第5章 「ミンコフスキ」の定理の応用[編集]

第6章 相対的の体[編集]

第7章 判別式 共軛差積[編集]

吾々は今代数的整数論に於て解説の最も難渋なる一章に入る.問題は古くて,しかも基本的であるのに,整理が不行届で,心持がよくないのである.

第8章 「ガロワ」体[編集]

第9章 単数[編集]

第10章 素数進法 (p 進法)[編集]

後篇 類体論[編集]

代数的整数論に於て,一般論以上,現今相当に整理されているのは,相対的「アアベル」体論であって,それは Gauss,Kummer,Kronecker,H.Weber,Hilbert 等の整数論に関する主要なる業蹟を包括する.目今流布の通称に従って,類体論の名目の下に,本書の後篇として,その要項を述べる.引用する文献の中,重なるものを次に掲げる.

(1)Takagi,Ueber eine Theorie des relativ-Abel'schen Zahlkörpers (1920).東京帝大,理学部紀要,41.〔略記:紀要〕

(2)Hasse,Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper,I (1926),Ia (1927),II (1930),.独逸数学協会年報.〔略記:報文〕

(3)Artin,類体論講演,Göttingen 大学に於て (1932).謄写版.〔略記:講演〕

(4)Hasse,類体論講義,Marburg 大学に於て (1932-33).謄写版.〔略記:講義〕

(5)Chevalley,Sur la theorie du corps de classes dans les corps finis et les corps locaux,東京帝大,理学部紀要,2 (1933).〔略記:紀要〕

本書では,著者の旧稿(1)の思潮を主調として,(3),(4),(5)によって,それを簡易化して述べる.

第11章 合同類別[編集]

第12章 解析的の考察[編集]

第13章 基本定理[編集]

第14章 分解定理 同型定理 相互律[編集]

第15章 存在定理 導手定理[編集]

第16章 集結定理[編集]

前章までで,「アアベル」体の基礎論は一段落に達したと言うてもよかろうと思われる.本章では§12.4の立場に返って,上の一般体の中に於ける「アアベル」体の特質を述べて,現今の類体論の限界を考察する.

附録[編集]

(1) 二次体論[編集]

Gaussの二次形式論は現代的に言えば(絶対)二次体論で,それが類体論の芽生であった.今類体論の最も簡単なる一例としてその要点を述べる[* 1]

(2) 円分体の類数[編集]

§12.2に述べたように,代数体の「イデヤル」類の数は Dedekind の函数の極に於ける留数から求められるが,が円分体なるとき,類数が有限なる形に計算されている.このの計算式は古典整数論の最高成成績の一つであって,多分に整数論的の興味を具え,現今では Fermat の問題に関係してしばしば引用されるものである.

円分体の類数の計算は,「イデヤル」論の発生以前に,実質的に既に Kummer が遂行したのであるが,現今手近な文献で,それを詳しく述べているのは Dedekind の「ヂリクレ」整数論講義,附録XIであろう.Dedekind の叙述は勿論立派なものだけれども,表現がやや古風になっているから,記号だけでも変更して,現代的に読み易く述べて見たいと思うのであるが,計算法の要点を鮮明にするために,Dedekind と同様に円の素数()分体のみを考察する.

〔注意〕 本章では一般的にを有理素数とする.特別に断らなければ

(3) 「イデヤル」論の基本定理[編集]

本書第2章に述べた「イデヤル」論は Dedekind の創意に出たもので,それは彼が編輯した Dirichlet の整数論講義第二版の附録として発表せられ,その後第三版及び第四版に於て,改良,拡充されたのであった.

Kronecker は同時代に,全く異なる方法によって,代数的整数論の基礎を確立した.その方法は有名なる論文,一般代数的数の整数論綱要[* 2]に述べてある.今簡易化された形に於て,その大要を次に説明する.



  1. 二次体論だけを直接の叙述は長たらしくなる.例えば,著者の旧著,初等整数論講義,参照.
  2. Kronecker,Grundzüge einer arithmetischen Theorie der allgemeinen algebraischen Grösse,1882,Werke,2.