初等整数論講義/第1章/1のn乗根

1. $1$ の $n$ 乗根即ち方程式 $x^{n}-1=0$ の根は $n$ 個あって，それらは

(1)

${\begin{cases}\cos \theta +i\sin \theta ,\\\theta ={\frac {2k\pi }{n}},k=0,1,2,\ldots \ldots ,n-1.\\\end{cases}}$

然しながら，$\cos$, $\sin$ の周期性から知られる通り

$\theta ={\frac {2k\pi }{n}},\theta '={\frac {2k'\pi }{n}}$

に対応する $n$ 乗根は $\theta -\theta '$ が $2\pi$ の倍数， 従って $k-k'$ が $n$ の倍数，即ち $k\equiv k'(mod.\ n)$ なるときに限って相等しいから，$1$ の $n$ 乗根をことごとく得る為に (1) に於いて $k$ に与えるべき値は，$n$ を法としての一つの剰余系である．

(1) に於いて $(k,n)=1$ なるときは，${\frac {2k\pi }{n}}$ は $n$ 倍して 始めて $2\pi$ の倍数になるから，

$\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}$

は $n$ 乗して始めて $1$ に等しくなるものである． これらを $1$ の原始 $n$ 乗根という． 若しも $(k,n)=d>1$ ならば，$n=dn',k=dk'$ と置くとき，

${\frac {2k\pi }{n}}={\frac {2k'\pi }{n'}}$

であるから，

$\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}$

は $n'$ 乗して既に $1$ に等しくなる．即ち $1$ の $n'$ 乗根である．

定理 1.23．

$1$ の原始 $n$ 乗根は $\varphi (n)$ 個ある．それらは

$\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}$

に於いて，$k$ に $n$ を法としての既約剰余系の値を与えて得られるものである．

［例］

$1$ の $6$ 乗根は

$1,-1,{\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}},{\frac {1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}$

で，その中始めの $1$ は $1$ 乗根，$-1$ は $2$ 乗根， 次の二つは $3$ 乗根で，最後の二つだけが原始 $6$ 乗根である．

定理 1.24．

$n$ の素数分解を $n=p^{\alpha }q^{\beta }r^{\gamma }$ とし，

(2)

$F_{n}(x)={\frac {(x^{n}-1)(x^{\frac {n}{pq}}-1)(x^{\frac {n}{pr}}-1)(x^{\frac {n}{qr}}-1)\ldots \ldots }{(x^{\frac {n}{p}}-1)(x^{\frac {n}{q}}-1)(x^{\frac {n}{p}}-1)\ldots \ldots (x^{\frac {n}{pqr}}-1)\ldots }}$

$=\prod ^{d|n}(x^{\frac {n}{d}}-1)^{\mu (d)}$

とすれば，$F_{n}(x)$ は $1$ の原始 $n$ 乗根のみを根とする多項式である．

$F_{n}(x)$ は $\varphi (n)$ 次で，その最高項の係数は $1$，その他の係数は皆整数である． $\mu$ はメイビウスの函数である．

［証］

$1$ の原始 $n$ 乗根のみ根（単根）とする方程式を $F_{n}(x)=0$ とし， その最高項の係数を $1$ とする． その他の $n$ 乗根は $n$ の或る真の約数 $d$ を次数とする原始 $d$ 乗根で， 又 $d$ 乗根は固より全部 $n$ 乗根の中に含まれているから

$\prod ^{d|n}F_{d}(x)=x^{n}-1.$

由って定理1.22に於ける $F(n)$ と $G(n)$ とに それぞれ $F_{n}(x)$ と $x^{n}-1$ とを宛て，又和の代わりに積を取り， 従って $\mu ({\frac {n}{d}})$ を係数とする代わりに，それを指数とするならば

$F_{n}(x)=\prod ^{d|n}(x^{\frac {n}{d}}-1)^{\mu (d)}$

を得る．これを書き直せば (2) を得る．

$\log$ を用いるならば

$\sum ^{d|n}\log F_{d}(x)=\log(x^{n}-1)$

から定理1.22に由って

$\log F_{n}(x)=\sum ^{d|n}\mu (d)\log(x^{\frac {n}{d}}-1)$．^[1]

従って

$F_{n}(x)=\prod ^{d|n}(x^{\frac {n}{d}}-1)^{\mu (d)}$

この計算では，$x$ を充分大きい正数として $F_{d}(x),x^{n}-1$ が正の値を有する ものとして，$\log$ の実数値を取ると考えるがよい．最後の結果は勿論 $x$ に 関する恒等式である．(I, §22).

$F_{n}(x)$ の次数は勿論 $\varphi (n)$ で その係数は (2) から見える通り，整数である：(2) の分子と分母とに於ける積を展開して後に，割り算を 行うと想像すれば，分母の最高項の係数が $1$ であるから， 割り算に際して商の係数に分数の生ずる余地がない．

例えば

${\begin{aligned}F_{12}(x)&={\frac {(x^{12}-1)(x^{2}-1)}{(x^{6}-1)(x^{4}-1)}}={\frac {x^{6}+1}{x^{2}+1}}&=x^{4}-x^{2}+1.\end{aligned}}$

又 $p$ が素数ならば

$F_{p}(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots \ldots +x+1$

$F_{p^{e}}=x^{p^{e-1}(p-1)}+x^{p^{e-1}(p-2)}+\ldots \ldots +x^{p^{e-1}}+1.$

命題 1．

$F_{n}(x)$ の常数項は，$n=1$ の場合の外，$+1$ である．

命題 2．

$F_{n}(x)$ の第二項の係数は $-\mu (n)$ に等しい． 即ち $1$ の原始 $n$ 乗根の和は $\mu (n)$ に等しい

［証］

原始 $n$ 乗根の和を $f(n)$ とすれば，$x^{n}-1=0$ から

$\sum ^{d|n}f(d)={\begin{cases}1&n=1\\0&n>1\end{cases}}$^{[2] [3]}

故に(定理1.22)

${\begin{aligned}f(n)&=\mu (n)\cdot 1+\mu (d)\cdot 0+\ldots \ldots +\mu (1)\cdot 0&=\mu (n)\end{aligned}}$

命題 3．

$\rho$ を $1$ の原始 $n$ 乗根とすれば，

$\rho ^{k}(k=0,1,2,\ldots \ldots ,n-1)$

がすべての $n$ 乗根で， その中 $(k,n)=1$ なるものだけが原始 $n$ 乗根である．

［証］

$\rho ^{k}$ は無論 $1$ の $n$ 乗根であるが， $\rho$ が原始 $n$ 乗根であるから $\rho$ の冪が $1$ に等しいのは指数が $n$ の倍数であるときに限る． 故に $\rho ^{k}=\rho ^{k'}$ になるのは， $k\equiv k'(mod.\ n)$ のときに限る．

$k$ に $n$ を法として完全なる代表の一組の値を与えるとき， $\rho ^{k}$ から $n$ 個の相異なる $n$ 乗， 即ちすべての $n$ 乗根が出で来る．

又 $(k,n)=d,n=dn'$ とすれば，$(\rho ^{k})^{n'}=1$． 又 $(\rho ^{k})^{e}=1$ ならば，$ke$ は $n$ の倍数． 由って $e$ は $n'$ の倍数である． 即ち $\rho ^{k}$ は原始 $n'$ 乗根である． 特に $d=1$ のときに，$\rho ^{k}$ は原始 $n$ 乗根である．

命題 4．

$(a,b)=1$ ならば，$1$ の $a$ 乗根と $b$ 乗根とを すべての組み合わせに掛けて得られる $ab$ 個の積が，$1$ の $ab$ 乗根の全部になる． 若しも原始 $a$ 乗根と原始 $b$ 乗根とのみかけ合わせるならば， 原始 $ab$ 乗根のみが得られる．

［証］

$\alpha =\cos {\frac {2\pi }{a}}+i\sin {\frac {2\pi }{a}},\beta =\cos {\frac {2\pi }{b}}+i\sin {\frac {2\pi }{b}}$

とすれば

$\alpha ^{x}\beta ^{y}=\cos {\frac {2(bx+ay)\pi }{ab}}+i\sin {\frac {2(bx+ay)\pi }{ab}}$

^[4] ここで $x,y$ にそれぞれ $a,b$ を法としての剰余系 [又は既約剰余系]　の値を与えるならば， $bx+ay$ は $ab$ を法としての剰余系 [又は既約剰余系]　の値を取る (定理 1.19) ． 故に問題に言う通りになる．

1. officious: $\sum ^{d|n}$ のもと $d\leftrightarrow {\frac {n}{d}}$.
2. 場合わけ式中の日本語を省略した（入力ガ不可能のため）
3. officious: $\prod ^{d|n}F_{d}(x)=x^{n}-1$ と同じ考え方
4. ド・モアブルの定理 $(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$ を適用し，この結果に三角関数の加法定理をあてはめる．すなわち
   ${\begin{aligned}\alpha ^{x}\beta ^{y}&=(\cos {\frac {2\pi x}{a}}+i\sin {\frac {2\pi x}{a}})(\cos {\frac {2\pi y}{b}}+i\sin {\frac {2\pi y}{b}})\\&=\cos {\frac {2\pi x}{a}}\cos {\frac {2\pi y}{b}}-\sin {\frac {2\pi x}{a}}\sin {\frac {2\pi y}{b}}+i(\sin {\frac {2\pi x}{a}}\cos {\frac {2\pi y}{b}}+\cos {\frac {2\pi x}{a}}\sin {\frac {2\pi y}{b}})\\&=\cos {({\frac {2\pi x}{a}}+{\frac {2\pi y}{b}})}+i\sin {({\frac {2\pi x}{a}}+{\frac {2\pi y}{b}})}\\&=\cos {\frac {2\pi (bx+ay)}{ab}}+i\sin {\frac {2\pi (bx+ay)}{ab}}\end{aligned}}$

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