1.
の
乗根即ち方程式
の根は
個あって,それらは
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然しながら,
,
の周期性から知られる通り

に対応する
乗根は
が
の倍数,
従って
が
の倍数,即ち
なるときに限って相等しいから,
の
乗根をことごとく得る為に
(1) に於いて
に与えるべき値は,
を法としての一つの剰余系である.
(1) に於いて
なるときは,
は
倍して
始めて
の倍数になるから,

は
乗して始めて
に等しくなるものである.
これらを
の原始
乗根という.
若しも
ならば,
と置くとき,

であるから,

は
乗して既に
に等しくなる.即ち
の
乗根である.
定理 1.23.
の原始
乗根は
個ある.それらは

に於いて,
に
を法としての既約剰余系の値を与えて得られるものである.
定理 1.24.
の素数分解を
とし,
(2)


とすれば,
は
の原始
乗根のみを根とする多項式である.
は
次で,その最高項の係数は
,その他の係数は皆整数である.
はメイビウスの函数である.
を用いるならば

から定理1.22に由って

.
[1]
従って

この計算では,
を充分大きい正数として
が正の値を有する
ものとして,
の実数値を取ると考えるがよい.最後の結果は勿論
に
関する恒等式である.(I, §22).
の次数は勿論
で
その係数は (2) から見える通り,整数である:(2) の分子と分母とに於ける積を展開して後に,割り算を
行うと想像すれば,分母の最高項の係数が
であるから,
割り算に際して商の係数に分数の生ずる余地がない.
例えば

又
が素数ならば


命題 1.
の常数項は,
の場合の外,
である.
[証]
原始
乗根の和を
とすれば,
から
[2]
[3]
故に(定理1.22)

命題 3.
を
の原始
乗根とすれば,

がすべての
乗根で,
その中
なるものだけが原始
乗根である.
[証]

とすれば

[4]
ここで
にそれぞれ
を法としての剰余系
[又は既約剰余系] の値を与えるならば,
は
を法としての剰余系
[又は既約剰余系] の値を取る (定理 1.19) .
故に問題に言う通りになる.
- ↑
officious:
のもと
.
- ↑ 場合わけ式中の日本語を省略した(入力ガ不可能のため)
- ↑ officious:
と同じ考え方
- ↑
ド・モアブルの定理
を適用し,この結果に三角関数の加法定理をあてはめる.すなわち
