初等整数論講義/第1章/一次の不定方程式

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§3. 一次の不定方程式[編集]

1. 本節で論ずるのは

のような,二つ以上の未知数を含む一つの一次方程式が与えられて,しかも係数 が整数であるとき,その方程式のすべての整数解を求めるという問題である.

後に説明するように,この方程式が整数解を有するならば,無数の整数解がある.この意味に於いて古来それを不定方程式と呼んでいたのであるが,代数的方程式論に於ける不定と区別する為に,近時は整係数の方程式の整数解を求めることを ディオファントス の問題,従ってその方程式を ディオファントスの方程式ともいう.

ディオファントス (Diophantus) は西暦約 350 年の頃アレキサンドリアに生存していたとされている.方程式,特に一次方程式の解法はディオファントスの著書に始めて載せられたものであるが,その時代を考えて想像されるように,主として有理数特に整数を取り扱ったものである.

定理 1.7.

一次の不定方程式

(1)

が解を有するが為に必要且つ充分なる条件は で割り切れることである (変数の数は任意).

[注意] 

変数 に任意の整数値を与えるときに,一次形式 が取るところの値をこの一次形式に由って表される数という.この用語に由れば,上の定理を次のように言い表すことができる.

一次形式

に由って表される数は の倍数の全体である.

[証]

は勿論一次形式 に由って表される数である. (例えば 又は などとするとき, ). 又 に由って表されるならば に由って表されること勿論である (変数の符号を変えればよい).

さて に由って表される整数の中の最小の正なるものを として

(2)

と置く.又 に由って表される任意の整数を として

(3)

と置く.

然らば の倍数である.何故ならば,若しも の倍数でなくて

ならば, (2)(3) に由って

であるから, よりも小なる正の整数 に由って表されることになる.これは矛盾である.故に で割り切れる.

然るに に由って表される数であるから, で割り切れる.同様に で割り切れる.即ち の公約数であるが, (2) に由って の倍数(定理 1.1)であるから, [1][2] 故に は一次式 に由って表わされる,

既に に由って表わされるならば, の任意の倍数は に由って表される数である.又逆に によって表される数は勿論 の倍数である(定理 1.1)から,定理は証明せられたのである.

[注意] 

上記の証明では定理 1.2のみを根拠にして §2の定理を一つも用いなかった. 由ってこの証明の中で定理 1.4が 再び証明されている. 即ち の公約数であることが示され, 同時に又 (2) に由って の任意の公約数の倍数であることが分かるから, は最大公約数である.

定理 1.6も上記の定理から導かれる. ならば, なる整数 があるから, . 故に で割り切れるならば, 左辺の二つの項が で割り切れるから, で割り切れる. 即ち定理 1.6である.


2. 方程式 (1) の一般の解は次のようにして求められる.

[例]
(4)

最小の係数 で他の係数を割れば,

由って

(5)

と置けば,

(4*)

同様に,

由って

(6)

と置けば, (4*) から

(4**)

(4**) の一般解として

は任意の整数)

を得る.それを (6) に代入して

最後に (5) に代入して

故に (4) の一般解は

に任意の整数値を与えて,この式から (4) のすべての解を得るのである.(補遺1参照)


命題 1.

の一つの解を とすれば,一般の解は

ただし で, は任意の整数である.

[証]

から,引いて

であるから, で割り切れなければならない(定理 1.6). 今 と置けば .即ち上掲の通り, で, これが与えられたる方程式を満足せしめることは明白である.


命題 2.

整数の集合[3]があって,その集合に属する整数から加法と減法とに由って作られる整数がやはりその集合に属するとする.このような集合はそれに属する最小絶対値 [4] の整数の倍数の全部から成り立つ.

但し なる数唯一つだけから成り立つ集合は除く.

[証]

上記の集合(略して という)に含まれる 以外の整数の中で 最小絶対値を有するものを とする. 然らば仮定に由って を含み, 従って を含む. 故に 即ち のすべての倍数を含む. さて に属する任意の整数として, とすれば(定理 1.2), に属するから に属する. 故に に関する規約[5]に由って . 即ち の倍数である.

[注意] 

上記の証明を定理 1.3及び定理 1.7の証明と比較して見るとよい. のすべての公倍数の集合は上記の集合 の条件に適合する.故にすべての公倍数は最小公倍数の倍数である.

また のような形に表わされるすべての整数の集合も同様であるから,そのうち最小絶対値を有する の倍数の全部から成り立つ,これが定理 1.7の証明の契点であったのである.


  1. officious: 今, とすると,. すなわち,. で表現できる上に,あきらかに よりも小さいので, で表現できる最小の数であることに矛盾する.したがって,, よって
  2. officious: が自明といいにくい場合には、 の二項における証明(定理 1.6で使用する)としてユークリッドの互助法を適用すればいい.ユークリッドの互除法は定理 1.2から直接証明されるから,この節の独立性は保たれる.
  3. 原著は「集団」
  4. ()
  5. kはMに含まれる最小絶対値の整数