る數とするも，アルキメデスの法則により，斯の如くになし行きて竟に ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} を定め得べし．I，II は寔に一の算法を定むるものなり．
今數學的歸納法を用ゐて，此算法の諸性質を證明せんとす．
一，組み合せの法則， ( ( a , b ) , c ) = ( a , ( b , c ) ) {\displaystyle ((a,b),c)=(a,(b,c))}
第一段， c {\displaystyle c} が 0 {\displaystyle 0} なるときは，I によりて此定理成立すること分明なり．
第二段， c {\displaystyle c} につきて此定理成立するものとせば
卽ち此定理は c ± {\displaystyle c^{\pm }} につきても亦成立す．
二， ( a ± , b ) = ( a , b ) ± {\displaystyle (a^{\pm },b)=(a,b)^{\pm }}
II** にては關係せる二つの數の中後者に ± {\displaystyle \pm } を附せり，こゝに證明せんとする定
を定め得べし．I，II は寔に一の算法を定むるものなり．
が 
なるときは，I によりて此定理成立すること分明なり．
につきて此定理成立するものとせば
につきても亦成立す．
を附せり，こゝに證明せんとする定
