言はゞ
等が亦 α , β … {\displaystyle \alpha ,\beta \ldots } を極限とするときは
の極限は卽ち λ {\displaystyle \lambda } なり．之を證明せんと欲せば
と置きて z n − z n ′ {\displaystyle z_{n}-z'_{n}} の極限の 0 {\displaystyle 0} なるべきを示さば則ち足る．假に z n − z n ′ {\displaystyle z_{n}-z'_{n}} の極限 0 {\displaystyle 0} にあらずとせば此差の絕對値 | f ( a n , b n , … ) − f ( a n ′ , b n ′ , … ) | {\displaystyle |f(a_{n},b_{n},\ldots )-f(a'_{n},b'_{n},\ldots )|} は 0 {\displaystyle 0} にあらざる一定の下限を有す．而も a n {\displaystyle a_{n}} と a n ′ {\displaystyle a'_{n}} ， b n {\displaystyle b_{n}} と b n ′ {\displaystyle b'_{n}} …の差は n {\displaystyle n} と共に限りなく減少すべきが故に，是れ f {\displaystyle f} が連續的算法なりとの前提に反せり．
以上の觀察によりて次の結果を得． f ( ξ , η , … ) {\displaystyle f(\xi ,\eta ,\ldots )} が有理數の範圍內に於て連續的算法なるときは有理數 ξ , η … {\displaystyle \xi ,\eta \ldots } を以て限りなく定まれる數 α , β … {\displaystyle \alpha ,\beta \ldots } に
を極限とするときは
なり．之を證明せんと欲せば
の極限の 
なるべきを示さば則ち足る．假に の極限 にあらずとせば此差の絕對値 
は にあらざる一定の下限を有す．而も 
と 
，
と 
…の差は 
と共に限りなく減少すべきが故に，是れ 
が連續的算法なりとの前提に反せり．
が有理數の範圍內に於て連續的算法なるときは有理數 
を以て限りなく定まれる數 に
