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（三）

無限列數の極限存在の條件

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證明せんと欲する定理なり．

$S$ の諸數は盡く $l\ldots g$ なる間隙の中に存せるが故に，$S$ に集積點あり．若し $S$ に一個より多くの集積點あらば，其二つを $\gamma$，$\gamma '$ と名づくるに $\gamma$，$\gamma '$ の如何程の近くにも $S$ の諸數限りなく存在すべきが故に，附數 $n$ を如何に大となすとも $a_{n},a_{n+1}\ldots$ 等の中 $\gamma$，$\gamma '$ に如何程にても近き數あり．卽ち $\delta _{n}$ 隨て $\delta$ も亦決して $\gamma$，$\gamma '$ の差より小なることを得ず．是故に $\delta$ が $0$ なる場合に於ては $S$ は唯一個の集積點を有す，之を $\lambda$ と名づくるに，$\lambda$ は卽ち $S$ の極限なり．げにも先づ如何程小なる正數にてもよし，豫め任意に $\varepsilon$ を與ふべし．$\delta$ は $0$ なるが故に，$n$ を相當に選みて $\delta _{n}<{\frac {\varepsilon }{2}}$ ならしむることを得，隨て $a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\ldots$ は盡く $(a_{n}-\delta _{n})\ldots (a_{n}+\delta _{n})$ なる間隙に入る．$S$ の集積點 $\lambda$ は此間隙の中に位せざるを得ざるが故に $(\lambda -2\delta _{n})\ldots (\lambda +2\delta _{n})$ なる間隙，況んや $(\lambda -\varepsilon )\ldots (\lambda +\varepsilon )$ なる間隙は全く $(a_{n}-\delta _{n})\ldots (a_{n}+\delta _{n})$ なる間隙を包括す，是卽ち $\lambda -a_{n},\lambda -a_{n+1},\lambda -a_{n+2}\ldots$ が盡く絕對値に於て $\varepsilon$ を超えざるを示せり．$\lambda$ は