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十

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極限及連續的算法

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$(S)\qquad 0.9,0.99,0.999,\ldots \quad (a_{n}=1-{\frac {1}{10^{n}}})$

なるときは $\delta _{n}={\frac {1}{10^{n}}}$ にして，$\delta$ は卽ち $0$ なり．

一般に $S$ の列數が一定の極限 $\lambda$ を有するときは，$\delta$ は $0$ に等し．げにも此場合に於ては $n$ の限りなく增大するとき，$a_{n}$ は限りなく $\lambda$ に近迫す，卽ち $\varepsilon$ なる正數を任意に豫定するとき，之に應じて $n$ を相當に定めて以て $|\lambda -a_{n}|,|\lambda -a_{n+1}|,|\lambda -a_{n+2}|\ldots$ をして盡く $\varepsilon$ より小ならしむることを得，卽ち $a_{n},a_{n+1},a_{n+2}\ldots$ をして盡く $(\lambda -\varepsilon )\ldots (\lambda +\varepsilon )$ なる間隙の中に歸入せしむることを得．隨て $\delta _{n}$ は $2\varepsilon$ より小なり．$\varepsilon$ を如何に小なる數となすとも，之に應じて $n$ を相當に定めて以て $\delta _{n}<2\varepsilon$ ならしむることを得るは，卽ち $\delta _{n},\delta _{n+1}\ldots$ の下限 $\delta$ が $0$ なるを示すにあらずして何ぞや．

$S$ に一定の極限あるとき $\delta$ は $0$ なりといふ事實は之を轉倒することを得．卽ち $\delta$ にして $0$ ならば，$S$ に一定の極限なかるべからず．隨て $S$ が一定の極限を有する爲に必要にして且充分なる條件は $\delta$ の $0$ なることにあり．是吾輩の