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九

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無理數

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より大なるべきこと定理一によりて明白なり．さて ${\bf {O}}$ に最小の數あることなし．げにも $\xi :\beta >\gamma :\delta$ なる數 $\xi$ の一つを任意に採りて考ふるに $\xi :\beta >{\frac {m}{n}}>\gamma :\delta$ なる如き有理數 ${\frac {m}{n}}$ は必ず存在す．$n\xi >m\beta$ さて $n\xi -m\beta$ なる數と自然數 $n$ とに對して $n\xi -m\beta >n\varepsilon$ なる如き數 $\varepsilon$ も亦必ず有りて $\varepsilon$ は $\xi$ より小なり．さて $n(\xi -\varepsilon )>m\beta$ 卽ち $\xi -\varepsilon :\beta >{\frac {m}{n}}$ 隨て $\xi -\varepsilon$ は ${\bf {O}}$ に屬し，而も $\xi$ より小なり．是 ${\bf {O}}$ に最小なきなり．同樣にして又 ${\bf {U}}$ に最大の數なきを確むべし．是故に連續の法則によりて ${\bf {O}}$，${\bf {U}}$ は未だ凡ての數を盡さゞるを知る．${\bf {O}}$ にも又 ${\bf {U}}$ にも屬せざる數卽ち $\alpha :\beta =\gamma :\delta$ なる如き數 $\alpha$ は必ず存在す．$\alpha$ が唯一個に限り存在し得べきことは定理一によりて明白なり．

定理三を用ゐて四を擴張し次の結果を得．

$\alpha$，$\beta$，$\gamma$，$\delta$ の中三つを與へて $\alpha :\beta =\gamma :\delta$ なる如き他の一つを必ず而も唯一樣に定むることを得．

ユークリツドの比の定義を基礎として比例に關する諸定理を證明するには凡