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九

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無理數

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後，玆に新に一の疑問を生ず．$A$ なる量，例へば $PQ$ なる長さの先づ與へられたるときは斯の如くにして，$m_{0},c_{1},c_{2},\ldots$ なる自然數の引續きを定め得べしと雖，若し此順序を轉倒し，始めより $m_{0},c_{1},c_{2}\ldots$ 等限りなく自然數の引續きを與ふるとき

$A=m_{0}E+c_{1}{\frac {E}{10}}+c_{2}{\frac {E}{100}}+\cdots +c_{k}{\frac {E}{10^{k}}}+\cdots$

の如き數値を得べき量 $A$ は存在すべしや否や．$m_{0},c_{1},c_{2}\ldots$ は與へられたるが故に $m_{0}E,c_{1}{\frac {E}{10}},\ldots c_{2}{\frac {E}{100}},\ldots c_{k}{\frac {E}{10^{k}}}\ldots$ 等は旣に定まれる量なり，此等の量より加合によりて

${\begin{aligned}A^{(0)}&=m_{0}E,\\A^{(1)}&=m_{0}E+c_{1}{\frac {E}{10}},\\A^{(2)}&=m_{0}E+c_{1}{\frac {E}{10}}+c_{2}{\frac {E}{100}},\\&\ldots \\A^{(k)}&=m_{0}E+c_{1}{\frac {E}{10}}+\cdots +c_{k}{\frac {E}{10^{k}}}\\\end{aligned}}$