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（五）

$\varphi (n)$ の性質

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を得．之を分母に從ひて四類に分つに

${\begin{aligned}\varphi (1)=1:\qquad &1\\\varphi (3)=2:\qquad &{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\\\varphi (5)=4:\qquad &{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}}\\\varphi (15)=8:\qquad &{\frac {1}{15}},{\frac {2}{15}},{\frac {4}{15}},{\frac {7}{15}},{\frac {8}{15}},{\frac {11}{15}},{\frac {13}{15}},{\frac {14}{15}}.\end{aligned}}$

$\varphi (1)+\varphi (3)+\varphi (5)+\varphi (15)=1+2+4+8=15.$

$n$ の凡ての約數 $d$ につきて $\varphi (d)$ を作れば其和 $n$ に等し，といふ整數論にて有名なる定理は分數を利用して甚簡單に證明せられたり．

$n$ が相素なる二つの整數 $a$，$b$ の積に等しきとき（$n=ab$）

(3)

${\frac {m}{n}}={\frac {a'}{a}}+{\frac {b'}{b}}\pm g$

なる等式を二樣に觀察することを得．第一，左邊の分數を逐次 $n$ を分母とせる $\varphi (n)$ 個の旣約眞分數となし，右邊は前節に述べたるが如くにして，之を部分的分數に分解せるものなりとなさば，右邊の分數 ${\frac {a'}{a}}$，${\frac {b'}{b}}$ は共に旣約分數