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六

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分數に關する整數論的の硏究

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にして（前節の結尾を看よ）且 $\pm g$ は $0$ 又は $-1$ の外に出でず．よりて斯の如くにして得たる $\varphi (n)$ 個の等式 (3) の右邊の分數部分は盡く相異にして，こゝに現はるゝ二つの分數はそれぞれ $a$，$b$ を分母とせる $\varphi (a)$ 個 $\varphi (b)$ 個の旣約眞分數一つ一つの相異なる組み合はせなり．是故に

$\varphi (n)\leqq \varphi (a)\cdot \varphi (b)$

次に又 (3) の右邊に立てる二つの分數を逐次 $a$，$b$ を分母とせる $\varphi (a)$ 個 $\varphi (b)$ 個の旣約眞分數となし ${\frac {a'}{a}}+{\frac {b'}{b}}$ が $1$ より小なるときは $g$ を $0$ ，又此和が $1$ より大なるときは $\pm g$ を $-1$ となし行かば，斯の如くにして作らるゝ $\varphi (a)\cdot \varphi (b)$ 個の等式 (3) の左邊に現はれ來るものはいづれも $n$ を分母とせる盡く相異なる旣約眞分數なり．（前節の結尾を看よ）是故に

$\varphi (n)\geqq \varphi (a)\varphi (b)$

以上二樣の結論を綜合して次の定理を得，

$a$，$b$ が相素なる整數なるときは

(4)

$\varphi (ab)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$