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六

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分數に關する整數論的の硏究

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ものは盡く (1) の中に包括せられたり．げにも今 $n=dd'$ と置かば (1) の中

${\frac {d'}{n}},{\frac {2d'}{n}},\ldots {\frac {(d-1)d'}{n}},{\frac {dd'}{n}}$

なる $d$ 個はそれぞれ

${\frac {1}{d}},{\frac {2}{d}},\ldots {\frac {d-1}{d}},{\frac {d}{d}}$

に等しくして，上に言へる $d$ を分母とせる旣約眞分數は盡くこの $d$ 個の中に網羅せらる．是によりて $d_{1},d_{2},d_{3}\ldots$ を以て $n$ の凡ての約數（$1$ 及び $n$ を包む）となし，(1) の $n$ 個の分數を旣約分數に直し，之を其分母に從て分類するときは $d_{1}$ を分母とせる旣約眞分數の全體，其數 $\varphi ({d_{1}})$，$d_{2}$を分母とせる旣約眞分數の全體其數 $\varphi (d_{2})\ldots$ を得，卽ち

(2)

$\varphi (d_{1})+\varphi (d_{2})+\varphi (d_{3})+\cdots =n$

例へば $n$ を $15$ とし，(1) なる十五個の分數を旣約分數となし

${\frac {1}{15}},{\frac {2}{15}},{\frac {1}{5}},{\frac {4}{15}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{5}},{\frac {7}{15}},{\frac {8}{15}},{\frac {3}{5}},{\frac {2}{3}},{\frac {11}{15}},{\frac {4}{5}},{\frac {13}{15}},{\frac {14}{15}},1$