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（五）

旣約眞分數の數

等の盡く整數なるべき場合に限れり．

（五）

正の整數 $n$ を分母とし， $1, 2, \dots n$ を分子とせる $n$ 個の分數

(1)

\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots \frac{n}{n}

の中旣約分數なるは幾個ぞ．此數は畢竟 $1, 2, 3, \dots n$ なる $n$ 個の整數の中 $n$ と相素なるものゝ數に同じ，此數を表はすに，ガウスは

φ (n)

なる記號を用ゐたり．この記號の意義によれば

φ (1) = 1, φ (2) = 1, φ (3) = 2, φ (4) = 2, \dots

なること直に驗證せらるべし．さて $φ (n)$ の一般の算式は如何．此問題を解決するに先ち， $φ (n)$ の特異なる一性質につきて數言を費さんとす．

$d$ を以て $n$ の約數の一となさば (1) の諸分數を旣約分數に直すとき，其中必ず $d$ を分母とせるものを得．又 $d$ を分母とせる旣約分數の中 $1$ より大ならざる