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（五）

旣約眞分數の數

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等の盡く整數なるべき場合に限れり．

（五）

正の整數 $n$ を分母とし，$1,2,\ldots n$ を分子とせる $n$ 個の分數

(1)

${\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}},\ldots {\frac {n}{n}}$

の中旣約分數なるは幾個ぞ．此數は畢竟 $1,2,3,\ldots n$ なる $n$ 個の整數の中 $n$ と相素なるものゝ數に同じ，此數を表はすに，ガウスは

$\varphi (n)$

なる記號を用ゐたり．この記號の意義によれば

$\varphi (1)=1,\quad \varphi (2)=1,\quad \varphi (3)=2,\quad \varphi (4)=2,\ldots$

なること直に驗證せらるべし．さて $\varphi (n)$ の一般の算式は如何．此問題を解決するに先ち，$\varphi (n)$ の特異なる一性質につきて數言を費さんとす．

$d$ を以て $n$ の約數の一となさば (1) の諸分數を旣約分數に直すとき，其中必ず $d$ を分母とせるものを得．又 $d$ を分母とせる旣約分數の中 $1$ より大ならざる