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六

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分數に關する整數論的の硏究

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${\frac {-11}{15}}={\frac {2}{3}}-{\frac {7}{5}}$

よりて

${\frac {1}{60}}={\frac {3}{4}}+{\frac {2}{3}}-{\frac {7}{5}}$

若し强て凡ての分數が正の眞分數たるべきを欲せば，分解式の右邊に正又は負の整數一項を添加するを避くべからず．例へば $n=abc$ なるとき旣に ${\frac {a'}{a}}$，${\frac {b'}{b}}$ を正の眞分數となしたる上は ${\frac {c'}{c}}$ は自ら定まれり，さて ${\frac {c'}{c}}$ は大小の順序に於て或隣接せる二つの整數の中間に落ち，例へば

$k<{\frac {c'}{c}}<k+1$

となる，$k$ は正又は負の整數なり．されば

${\frac {c'}{c}}-k={\frac {c''}{c}}$

と置くとき

$0<{\frac {c''}{c}}<1$