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（二）

冪の擴張

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此處に用ゐたる論法の根據は加法の組み合はせの法則，$m$ に代ふるに $m+n$ 又 $n$ に代ふるに $\pm 1$ を以てせる (5)，$n$ の場合の (5)，乘法の組み合はせの法則，$m$ に代ふるに $n$， $n$ に代ふるに $\pm 1$ を以てせる (5) にして最後に到着せるは卽ち $n\pm 1$ の場合の (5) なり．數學的歸納法の兩段完成せり．

$m$，$n$ 兩ながら正にはあらざる場合に (6) を證明せんに，先づ $m$ 又は $n$ の中少くとも一つが $0$ なる場合は兩邊共に $1$ となりて落着す．さて $m$，$n$ を自然數とし

${\begin{aligned}\left(a^{-m}\right)^{n}&=\left({\frac {1}{a_{m}}}\right)^{n}={\frac {1}{(a^{m})^{n}}}={\frac {1}{a^{mn}}}=a^{-mn}=a^{(-m)n}\\\left(a^{m}\right)^{-n}&={\frac {1}{(a^{m})^{n}}}={\frac {1}{a^{mn}}}=a^{m(-n)}\\\left(a^{-m}\right)^{-n}&={\frac {1}{(a^{-m})^{n}}}={\frac {1}{a^{-mn}}}=a^{mn}=a^{(-m)(-n)}\end{aligned}}$

によりて凡ての場合を落着せしむ．

基數 $1$ なるときは冪は指數に關係なく常に $1$ なり．基數正數ならば冪は恆に