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二

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四則算法

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る原因の一ならずとせんや．

$e$ を基數とせる記數法に於て一般に桁數 $k$ なる數 $a$ は次の不等式に適合すべし，

$e^{k}-1\geqq a\geqq e^{k-1}$

例へば十進法に於て桁數 $k$ なる數は $10^{k}-1$ 卽ち $9$ を $k$ 個幷べて書き表はさるゝ數よりも大ならず，又 $10^{k-1}$ 卽ち $1$ の右に $0$ を $k-1$ 個幷べて書き表さるゝ數よりも小ならず．

げにも

${\begin{aligned}a&=(p_{k}p_{k-1}\cdots p_{2}p_{1})\\&=p_{k}e^{k-1}+p_{k-1}e^{k-2}+\cdots +p_{2}e+p_{1}\end{aligned}}$

となすときは $p_{1},p_{2}\ldots p_{k}$ はいづれも $e$ より小，卽ち多くとも $e-1$ に等しきが故に

$p_{k}e^{k-1}\leqq (e-1)e^{k-1}=e^{k}-e^{k-1}$

$p_{k-1}e^{k-2}\leqq (e-1)e^{k-2}=e^{k-1}-e^{k-2}$