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二

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四則算法

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$1$ より大なる一數 $e$ を採りて之を法となし，任意に與へられたる數 $a$ を除し商 $q_{1}$ 及剩餘 $r_{1}$ を得たりとするとき，再び $e$ を以て $q_{1}$ を除し商 $q_{2}$ 及剩餘 $r_{2}$ を 得，更に $e$ を以て $q_{2}$ を除し商 $q_{3}$ 及剩餘 $r_{3}$ を得，逐次斯の如く囘一囘得來る所の商を更に $e$ を以て除し行くときは，$q_{1}$ は $q$ よりも小，$q_{2}$ は $q_{1}$ よりも小，後に得る所の商は常に前に現はれたる者よりも小にして，$a$ よりも小なる數は其數限りあるが故に，遞次得る所の商は次第に減少し行きて究局 $e$ よりも小とならざるを得ず．今 $q_{k-1}$ は $e$ よりも小なりとせば $q_{k}$ は $0$ にして $r_{k}$ は $q_{k-1}$ に等し，卽ち

${\begin{aligned}&a=q_{1}e+r_{1},\qquad &&r_{1}<e_{,}\\&q_{1}=q_{2}e+r_{2},\qquad &&r_{2}<e,\\&\ldots &\\&q_{k-1}=q_{k}e+r_{k},\qquad &&r_{k}<e,\qquad q_{k}=0,\qquad r_{k}=q_{k-1},\end{aligned}}$

等の式を得，之を一括して

(3)

$a=r_{k}e^{k-1}+r_{k-1}e^{k-2}+\cdots +r_{2}e+r_{1}.$