なる二つの列數の極限をそれぞれ α {\displaystyle \alpha } ， β {\displaystyle \beta } となすときは
等の無限列數の極限はそれぞれ α ± β {\displaystyle \alpha \pm \beta } ， α β {\displaystyle \alpha \beta } ， α β {\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}} なり．唯其最後の場合に於ては β {\displaystyle \beta } が 0 {\displaystyle 0} ならざるを必要とし，又 a n b n {\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}} 等の諸項中より b n {\displaystyle b_{n}} の 0 {\displaystyle 0} に等しきものを撤去せざるべからず．
先づ和の場合より始め，豫め ε {\displaystyle \varepsilon } を與ふるとき， n {\displaystyle n} を適當に選みて自然數 μ {\displaystyle \mu } に關係なく
の絕對値をして ε {\displaystyle \varepsilon } よりも小ならしむることを得べきを驗證せんとす．事最簡易なり． ε {\displaystyle \varepsilon } は與へられたり， ε 2 {\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}} を作る． A {\displaystyle A} の極限は α {\displaystyle \alpha } なり． ε 2 {\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}} に應じて相當
，
となすときは
，
，
なり．唯其最後の場合に於ては が 
ならざるを必要とし，又 
等の諸項中より 
の に等しきものを撤去せざるべからず．
を與ふるとき，
を適當に選みて自然數 
に關係なく
よりも小ならしむることを得べきを驗證せんとす．事最簡易なり． は與へられたり，
を作る．
の極限は なり． に應じて相當
