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九

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無理數

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定理を證明せんとす．

一，$\alpha '>\alpha$ ならば $\alpha ':\beta >\alpha :\beta$

證．アルキメデスの法則によりて (1) $n(\alpha '-\alpha )>\beta$ なる如き自然數 $n$ 必ず存在す．斯の如き自然數の一つを任意に採りたる上 (2) $m\beta >n\alpha$ なる如き最小の自然數 $m$ を定む，卽ち (3) $n\alpha +\beta \geqq m\beta$ なり．さて (1) によりて $n\alpha '>n\alpha +\beta$ よりて (3) を用ゐて $n\alpha '>m\beta$ 卽ち

$\alpha ':\beta >{\frac {m}{n}}$

然るに (2) によりて

$\alpha :\beta <{\frac {m}{n}}$

なるが故に $\alpha ':\beta >\alpha :\beta$

二，$\beta '>\beta$ ならば $\alpha :\beta '<\alpha :\beta$

げにも一によりて $\beta ':\alpha >\beta :\alpha$ 卽ち $\beta ':\alpha >{\frac {n}{m}}>\beta :\alpha$ なる如き有理數 ${\frac {n}{m}}$ は存在す．さて $\beta ':\alpha >{\frac {n}{m}}$ より $m\beta '>n\alpha$ 卽ち $\alpha :\beta '<{\frac {m}{n}}$ を得．又同樣にして