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（九）

無理數の加法論法の說明

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然れども，$r_{k}+s_{k}$ の上限と $r'_{k}+s'_{k}$ の下限との果して一致するや否や，是證明を要せずして斷定せらるべき問題にあらず．而して此上限と下限との實際一致すべきことは，前節所說の中に含蓄せられたる所なり．

$r_{k}$ は是一の $a$ なり，$s_{k}$ は是一の $b$ なり．$r_{k}+s_{k}$ の上限は $a+b$ の上限 $\gamma$ を超えず．さて $\alpha$，$\beta$ より小なる或有理數 $a$，$b$ を考ふるに $r_{k}$，$s_{k}$ の上限は卽ち $\alpha$，$\beta$ なるにより，$a$，$b$ より大なる $r_{k}$，$s_{k}$ は必ず存在す．詳しく言はば $\alpha$，$\beta$ の展開の桁數を充分永く採りて，$a$，$b$ よりも一層 $\alpha$，$\beta$ に近接せる有限小數を得べし．是故に $r_{k}+s_{k}$ の上限は決して $\alpha +\beta$ の上限 $\gamma$ を下らず．故に $r_{k}+s_{k}$ の上限は $\gamma$ に外ならざるを知る．$r'_{k}+s'_{k}$ の下限が $a'+b'$ の下限 $\gamma '$ 卽ち $\gamma$ と同一なること亦同樣にして證明せらるべし．

$A$，$B$ に屬せる凡ての有理數の中より特に特殊の有限小數 $r_{k}$，$s_{k}$ を採り，又 $A'$，$B'$ より特に $r'_{k}$，$s'_{k}$ を採る．是理論上其必要なくして，徒に問題の解釋を狹め，其美を殺ぐなり．前節に述べたる和の說明に於ては，數の觀念及加法の意義に直