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（四）

有理數の切斷と無理數

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$\lambda -{\frac {\varepsilon }{2}}$ との間に在る有理數は盡く乙に屬せり，其一つを $b$ となすに，$\lambda +{\frac {\varepsilon }{2}}>a>\lambda >b>\lambda -{\frac {\varepsilon }{2}}$ よりて $a-b<\left(\lambda +{\frac {\varepsilon }{2}}\right)-\left(\lambda -{\frac {\varepsilon }{2}}\right)=\varepsilon$ 斯の如くにして $a$，$b$ の如き一對の有理數を甲乙兩群より一つ一つ撰み出すべき方法は無限に之あり．

$\lambda$ が ${\frac {\varepsilon }{2}}$ より大ならざる場合は辨明を要せざるべし．

如上の觀察によりて次の事實を知る．

凡て無理數は有理數間に一の切斷を惹き起し，又有理數間の切斷は一の無理數を定む．屢〻說きたる有理數の缺陷は各，唯一個の無理數によりて塡補せらる．是故に有理數に一の切斷を與へて其缺陷を指示する每に，一個の無理數の存在，證明せられたりと謂ふことを得．

（五）

$\alpha$ を或無理數となし，$t$ を $1$ より大なる自然數（例へば $t=10$）とし，$t$ を基數とせる命數法によりて $\alpha$ を表さんとす．