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九

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無理數

先づ $n$ を任意の自然數となし， $n$ を分母とせる正の分數 $\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \frac{3}{n}, \dots$ を考ふるに，此等の分數の中 $α$ より小なる者は其數に限あるべきこと，アルキメデスの法則の當然の結果なり．さて此等の分數の中最大なる者を $\frac{m}{n}$ と名づくるに

\frac{m}{n} < α < \frac{m + 1}{n}

にして

α = \frac{m}{n} + a^{'}, α^{'} < \frac{1}{n}

今順次 $n$ を $1, t, t^{2}, \dots$ となして，此結果を適用し

\begin{matrix} r_{0} & = m_{0} < α < m_{0} + 1 \\ r_{1} & = \frac{m_{1}}{t} < α < \frac{m_{1} + 1}{t} \\ r_{2} & = \frac{m_{2}}{t^{2}} < α < \frac{m_{2} + 1}{t^{2}} \end{matrix}

\dots