Page:Shinshiki Sanjutsu Kogi 00.djvu/358

九

342

無理數

---

先づ $n$ を任意の自然數となし，$n$ を分母とせる正の分數 ${\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}},{\frac {3}{n}},\ldots$ を考ふるに，此等の分數の中 $\alpha$ より小なる者は其數に限あるべきこと，アルキメデスの法則の當然の結果なり．さて此等の分數の中最大なる者を ${\frac {m}{n}}$ と名づくるに

${\frac {m}{n}}<\alpha <{\frac {m+1}{n}}$

にして

$\alpha ={\frac {m}{n}}+a',\qquad \alpha '<{\frac {1}{n}}$

今順次 $n$ を $1,t,t^{2},\ldots$ となして，此結果を適用し

${\begin{aligned}r_{0}&=m_{0}<\alpha <m_{0}+1\\r_{1}&={\frac {m_{1}}{t}}<\alpha <{\frac {m_{1}+1}{t}}\\r_{2}&={\frac {m_{2}}{t^{2}}}<\alpha <{\frac {m_{2}+1}{t^{2}}}\\\end{aligned}}$

$\ldots$