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（九）

循環小數と分數

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一般に

${\frac {1}{t^{k}}}={\frac {t-1}{t^{k+1}}}+{\frac {t-1}{t^{k+2}}}+\cdots +{\frac {t-1}{t^{n}}}+\alpha _{n+1}$

$\alpha _{n+1}={\frac {1}{t^{n}}}$

特に十進法に於て

$1=0.999\cdots$

の如き展開成立するに至るべし．然れども同時に一方に於て，展開の結果唯一なりとの法則は其汎通を失ふ，例へば十進法に於て

${\frac {1}{2}}=0.5$ 又は ${\frac {1}{2}}=0.4999\cdots$

なるが如き是なり．

（十）

分數の展開を基礎として，整數論に關係せる，興味ある或る事實に到達することを得．