上の等式が a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} の展開式なるべきが爲には剩頃が
なる條件を充實すべきを要す．卽ち a b < 1 , C < t c − 1 {\displaystyle {\frac {a}{b}}<1,\ C<t^{c}-1} なるべきを必須とす． c 1 , c 2 , … c c {\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots c_{c}} が盡く t {\displaystyle t} より小なるべきは勿論なるが故に C = c 1 t c − 1 + c 2 t c − 2 + ⋯ + c c {\displaystyle C=c_{1}t^{c-1}+c_{2}t^{c-2}+\cdots +c_{c}} は t c − 1 {\displaystyle t^{c}-1} より大なること決してこれなしと雖，若し C = t − 1 {\displaystyle C=t-1} なるときは上述の條件は成立せず．
是故に例へば十進法に於て 0.999 ⋯ {\displaystyle 0.999\cdots } なる展開を與ふべき分數は存在せず．
若し展開の意義を少しく緩和して剩項 α n + 1 {\displaystyle \alpha _{n+1}} の充實すべき條件を
となして，此處に等號の成立すべきを容さば， C = t c − 1 {\displaystyle C=t^{c}-1} なるとき卽ち c 1 , c 2 … c c {\displaystyle c_{1},c_{2}\ldots c_{c}} 盡く t − 1 {\displaystyle t-1} に等しきとき
の展開式なるべきが爲には剩頃が
なるべきを必須とす．
が盡く 
より小なるべきは勿論なるが故に 
は 
より大なること決してこれなしと雖，若し 
なるときは上述の條件は成立せず．
なる展開を與ふべき分數は存在せず．
の充實すべき條件を
なるとき卽ち 
盡く 
に等しきとき
