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（九）

循環小數と分數

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なる容易に驗證せらるべき等式を立て，其兩邊に $C$ を乘じて，少しく之を書き改め

(1)

${\frac {C}{t^{c}-1}}={\frac {c_{1}}{t}}+{\frac {c_{2}}{t^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{c}}{t^{c}}}+{\frac {C}{(t^{c}-1)t^{c}}}$

を得．記法を透明ならしめんが爲に更に

${\frac {C}{t^{c}-1}}={\frac {a}{b}}$

となして，上の等式を變形し

(1*)

${\frac {a}{b}}={\frac {c_{1}}{t}}+{\frac {c_{2}}{t^{2}}}+\cdots +{\frac {c^{c}}{t^{c}}}+{\frac {a}{bt^{c}}}$

となし之を前節の (1*) と比較するときは ${\frac {a}{b}}$ の展開の係數が果して $c_{1},c_{2},\ldots c_{c}$ を週期とせること一目瞭然なり．豫定の週期を以て循環する展開を與ふる分數は果して存在せり．

若し混循環小數の最一般なる形式を採りて

$\alpha =(\cdots a''a'ac_{1}c_{2}\cdots c_{c})$

に於て $\ldots a'',a',a$ は循環せざる係數，$c_{1},c_{2}\ldots c_{c}$ は循環の週期而して循環の始ま