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六

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分數に關する整數論的の硏究

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より發足して，若し相距ること $c$ 位なる或二個の剩餘相等しからば $t^{c}\equiv 1{\pmod {b}}$ なるべきを知り，逆に $t^{c}\equiv 1{\pmod {b}}$ なるときは相距ること $c$ 位なる剩餘はすべて相等しからざるべからざるを確めたり．是剩餘 $a_{1},a_{2},a_{3}\ldots$ が $(a_{1}a_{2}\cdots a_{c})$ なる週期を以て限りなく循環し來るべきを證するものなり．

$c$ を以て $t^{c}-1$ を $b$ の倍數たらしむべき最小の正の數なりとなさば，$a_{1},a_{2}\ldots a_{c}$ なる週期を組成せる剩餘は盡く相異なり．げにも若し $a_{1},a_{2}\ldots a_{c}$ の中に相等しきものありて例へば $a_{k}=a_{k}'\ (c\geqq k'>k\geqq 1)$ なりとせば上文辨明せる所により，$c$ より小なる正の指數 $k'-k$ につきて旣に $t^{k'-k}-1$ が $b$ の倍數なりといふ，$c$ に關する規定に撞着せる結論に陷るべきなり．

剩餘 $a_{1},a_{2},a_{3}\ldots$ にして旣に $c$ 項の週期を以て循環せば，係數 $c_{1},c_{2},c_{3}\ldots$ も亦同じく $c$ 項の週期を以て循環せざるを得ず．但し $c_{1},c_{2},\ldots c_{c}$ なる一週期の係數は必ずしも盡く相異なりといふことを得ず．$a_{1},a_{2},a_{3}\ldots$ より $c_{1},c_{2},c_{3}\ldots$ を定めたる (1) の算式を觀るに一般に相等しき $a$ は相等しき $c$ を與ふべけれど