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六

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分數に關する整數論的の硏究

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整數なるべき解答は唯一對に限れり．是故に此場合に於ては

${\begin{aligned}\varphi (pn)&=p\nu -\nu \\&=(p-1)\varphi (n)\end{aligned}}$

上述の結果を利用して $\varphi (n)$ の算式を獲んと欲せば次の如く考ふべし．

先づ $p$ が素數なるときは $\varphi (p)=p-1$ なること明白なり，よりて一によりて順次

$\varphi (p^{2})=p\varphi (p)=p(p-1),\quad \varphi (p^{3})=p\varphi (p^{2})=p^{2}(p-1)$

一般に

$\varphi (p^{\alpha })=p\varphi (p^{\alpha -1})=p^{\alpha -1}(p-1)$

次に $q$ は $p$ と異なる素數なりとせば，二によりて $\varphi (p^{\alpha }q)=(q-1)\varphi (p^{\alpha })$ 次に

又一によりて

$\varphi (p^{\alpha }q^{2})=q\varphi (p^{\alpha }q)=q(q-1)\varphi (p^{\alpha })$

一般に

$\varphi (p^{\alpha }q^{\beta })=q^{\beta -1}(q-1)\cdot \varphi (p^{\alpha })=p^{\alpha -1}(p-1)q^{\beta -1}(q-1)$

斯の如くにして竟に

${\begin{aligned}\varphi (p^{\alpha }q^{\beta }r^{\gamma }\cdots )&=\varphi (p^{\alpha })\varphi (q^{\beta })\varphi (r^{\gamma })\cdots \\&=p^{\alpha -1}(p-1)\cdot q^{\beta -1}(q-1)\cdot r^{\gamma -1}(r-1)\cdots \end{aligned}}$