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六

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分數に關する整數論的の硏究

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す．

さて $\beta$，$\gamma$ を旣約分數の形式に表はして

$\beta ={\frac {a}{n}},\quad \beta '={\frac {a'}{n'}}$

と置くとき $\beta '$ が $\beta$ の倍數なるが爲に必須にして且完全なる條件は如何．$\beta '=k\beta$ なるが如き整數 $k$ 存在せば ${\frac {a'}{n'}}={\frac {ka}{n}}$ より

$a'n=kan'$

を得，$a'n$ は $a$ によりて整除せられ，而も $n$ は $a$ と素なるが故に第四章（五）によりて $a'$ は $a$ によりて整除せられざるを得ず，又 $a'n$ は $n'$ によりて整除せられ，而も $a'$ は $n'$ と素なりといふが故に，$n$ は $n'$ によりて整除せられざるを得ず．又若し倒に $a'$ は $a$ の倍數 $a'=pa$ 又 $n$ は $n'$ の倍數 $n=qn'$ なりとせば

${\frac {a'}{n'}}={\frac {pa}{n'}}={\frac {pqa}{n}}=(pq){\frac {a}{n}}$