四，凡て合成數の素數因子分解は唯一なり．
假に 
を素數因子に分解して二樣の結果を得たりとし，
と置かんに，先 卽ち 
は素數 
にて割り切るゝにより の中少くとも一は にて割り切れざるを得ず（定理二）
例へば 
は の倍數なりとせんに も亦素數なるが故に は に等しからざるを得ず．是故に上の式より
を得．之に同樣の論法を適用して例へば 
を得，次第に斯の如くにして
結局上の定理の證明を完くすべし．
凡て合成數が素數の積として表はされ得べきのみならず，此分解が唯一樣に限れりといふは，整數論に於ける最重要なる事實にして，又此事實の證明が（五）の定理二を根據とせることは深長なる意義を包藏す．
