相対性理論 特殊相対性理論と一般相対性理論/第2部

第2部:一般対性理論

第18節 相対性理論の特殊原理と一般原理

これまでの考察の軸となった基本原理は、特殊相対性原理、すなわち、すべての一様な運動が物理的に相対であるという原理であった。もう一度、その意味をよく分析してみよう。

それが我々に伝える考え方の観点からは、すべての運動は相対的な運動としてのみ考慮されなければならないことは、常に明らかであった。これまで頻繁に使ってきた堤防と客車の例に戻ると、ここで起きている運動の事実を次の2つの形で表現することができ、どちらも同様に正当化される。

(a)客車は堤防に対して相対的に運動している。

(b)堤防は客車に対して相対的に運動している。

(a)では堤防が、(b)では客車が、起こっている運動の記述 における参照体として機能する。もし、単に運動を検出したり記述したりすることが問題なら、原理的に、運動をどの参照体 に参照させるかは重要ではない。このことはすでに述べたように自明であるが、我々が研究の基礎としている「相対性原理」と呼ばれる、より包括的な記述と混同してはならないのである。

我々が用いた原理は、どのような事象を記述する場合でも、参照体として客車と堤防のどちらを選んでもよいということを主張するだけではない(このことも自明である)。我々の原則はむしろ次のことを主張している。もし我々が経験から得た自然界の一般法則を定式化するならば、その法則は

(a) 参照体としての堤防。

(b) 参照体としての客車。

とすると、これらの自然界の一般法則(例えば力学の法則や真空中の光の伝播の法則)は、どちらの場合も全く同じ形をしていることになる。これは次のように表現することもできる。自然現象の物理的記述において、参照天体K, $K'$のどちらも、他と比較してユニーク(liter. " special marked out " )でない。最初の声明とは異なり、この後者の声明はアプリオリに成立する必要はない。それは「運動」と「参照体」の概念 に含まれず、それらから派生する。その正否は経験のみが決定することができるのである。

しかし、現在に至るまで、我々は自然法則の定式化に関連して、すべての参照体$K$の等価性を維持してきたわけでは決してない。まず第一に、我々は、参照体$K$が存在し、その運動の条件は、それに関してガリレオの法則が成立するようなものであるという仮定から出発した。他の粒子から十分に離れたところにある粒子は、一様に直線的に移動する$K$(ガリレオの参照体)を基準にして、自然法則はできるだけ単純であるべきだった。しかし、$K$に加えて、すべての参照体$K'$はこの意味で優先されるべきであり、自然法則の定式化のためには、$K$に対して均一な直線的かつ非回転運動の状態である限り、それらは$K$と全く同等でなければならない；これらの参照体はすべてガリレイ参照体とみなされる。相対性原理の有効性は、これらの参照体に対してのみ仮定され、他の参照体(例えば、異なる種類の運動を持つもの)に対しては仮定されない。このような意味で、特殊相対性原理、あるいは特殊相対性理論と呼ばれる。

これに対して、我々は「相対性の一般原理」によって、次のような記述を理解したいと思う。このように，「一般相対性原理」は，自然現象の記述(自然一般法則の定式化)において，その運動状態がどうであれ，すべての参照天体$K$, $K'$が等価であることを示すものである。しかし、この定式化は、後に明らかになる理由から、より抽象的な定式化に置き換えられなければならないことを、先に指摘しておく必要がある。

特殊相対性理論の導入が正当化された以上、一般化を目指すすべての知性は、相対性理論の一般原理への一歩を踏み出す誘惑を感じるはずである。しかし、ある簡単で信頼できる考察によれば、今のところ、このような試みにはほとんど成功の見込みがないようである。我々の古い友人である客車に乗り移った自分を想像してみよう。車両は一定の速度で走行している。そのため、客車は静止しているが、堤防は動いていると、この事件の事実を不本意ながら解釈することができるのである。しかも、特殊相対性理論によれば、この解釈は物理学的な観点からも極めて正当である。

例えば、 強力なブレーキ操作によって、車両の運動が非一様な運動に変化した場合、車両の乗員はそれに応じて前方への強力な突進を経験する。遅延した運動は、客車の乗員に対する物体の力学的挙動として現れる。この機械的挙動は、前に考察した場合とは異なっている。このため、静止状態または一様に運動しているときの客車に対して成り立つのと同じ機械的法則が、一様に運動していない客車に対して成り立つことは不可能であるように思われる。いずれにせよ、ガリレオの法則が非一様に動く客車に対して成り立たないことは明らかである。このため、現時点では、相対性理論の一般原則に反して、非一様運動に一種の絶対的な物理的実在を認めざるを得ないように思われる。しかし、この結論が維持できないことは、この後すぐにわかるだろう。

第19節「重力場」

"石を拾ってから放すと、なぜ地面に落ちるのだろう?"この質問に対する通常の答えは、"地球に引き寄せられるから "である。しかし、現代物理学では、次のような理由で、この答えとは異なる定式化がなされている。電磁気現象をより注意深く研究した結果、遠方での作用は、何らかの媒介物の介在なしには不可能な過程であると考えられるようになったのである。例えば、磁石が鉄を引き付けたとすると、磁石が何もない中間的な空間を通して鉄に直接作用していると考えるだけでは満足できず、ファラデーに倣って、磁石は常にその周囲の空間に物理的に実在する何か、我々が「磁場」と呼ぶものを呼び出していると想像しなければならなくなったのである。そして、この磁場が鉄片に作用して、鉄片は磁石の方に向かおうとするのである。この偶発的な概念の正当性についてはここでは論じないことにする。しかし、このようなことは、(1)電磁波の伝わり方、(2)電磁気的な現象、(3)電磁波の伝わり方の3つにおいて、理論的に非常によく説明できることである。重力の効果もまた、類似の方法で考慮される。

地球が石に及ぼす作用は間接的に行われる。地球はその周囲に重力場を作り出し、それが石に作用して落下の運動を起こす。経験上、地球から遠ざかるにつれて、身体に作用する力は極めて明確な法則に従って弱くなることが分かっている。我々から見れば、これはつまり空間における重力場の性質を支配する法則は、作用する物体からの距離によって重力作用が減少することを正しく表現するために、完全に明確なものでなければならないのである。それは次のようなものである。天体(例えば地球)は、そのすぐ近くに場を直接作り出す。天体から遠く離れた地点での場の強さと方向は、重力場自体の空間での性質を支配する法則によって決まるのである。

電場や磁場とは対照的に、重力場は最も顕著な特性を示しており、これは以下の事柄にとって基本的に重要である。重力場の影響だけで動いている物体は、加速度を受ける。この加速度は、物体の材料にも物理的な状態にも全く依存しない。例えば、鉛の破片と木の破片は、重力場(in vacuo)において、静止状態から出発した場合、または同じ初速で出発した場合、全く同じように落下する。最も正確に成り立つこの法則は、次の考察に照らして、別の形で表現することができる。

ニュートンの運動の法則によれば、次のようになる。

(力) = (慣性 質量) × (加速度)

ここで、「慣性質量」は加速される物体の特性定数である。今、重力が加速の原因であるとすれば、次のようになる。

(力) = (質量) × (重力場の強さ)

ここで、「重力質量」も同様に、その物体の特徴的な定数である。この二つの関係から次のようになる。

$\mathrm {(acceleration)={\frac {(gravitational\ mass)}{(inertial\ mass)}}\times (intensity\ of\ the\ gravitational\ field)}$

今、経験から分かったように、加速度が物体の性質や状態に関係なく、 与えられた重力場に対して常に同じであるとすれば、重力と慣性の質量の比も同様にすべての物体に対して同じでなければならない。したがって、適切な単位の選択によって、この比を一に等しくすることができる。そこで、次のような法則が成り立つ。ある物体の重力質量は、その慣性質量に等しい。

この重要な法則は、それまでも力学の中に記録されてはいたが、解釈されてはいなかったのである。物体の同じ性質が、状況に応じて「慣性」として、あるいは「重さ」として現れるという事実を認識しなければ、納得のいく解釈は得られない。以下では、このことがどの程度事実なのか、そしてこの問題が相対性理論の一般的な仮定とどのように関連しているのかを明らかにすることにしよう。

第20節 相対性理論の一般公準の論拠としての慣性質量と重力質量の等価性

我々は、星や他の重要な質量から遠く離れた空の空間の大部分を想像し、ガリレイの基本法則が要求する条件をほぼ満たすものを目の前に置いている。そして、この空間(世界)の一部にガリレイ的な参照体を選ぶことができる。この参照体に対して、静止している点は静止したままで、運動している点は永久に均一な直進運動を続ける。基準体として、部屋のような広い箱と、その中に装置を備えた観測者を想像してみよう。この観測者には当然ながら重力は存在しない。そうでなければ，床に対するわずかな衝撃で，部屋の天井に向かってゆっくりと上昇することになる．

箪笥の蓋の真ん中には、ロープの付いたフックが外付けされており、今、「存在」(どんな存在かは 我々には重要ではない)がこれを一定の力で引っ張り始めます。すると、chest部は観察者とともに一様に加速しながら「上へ」移動し始める。そのうちに，彼らの速度は前代未聞の値に達するだろう．ただし，我々がロープで引っ張られていない別の参照体からこのすべてを眺めている場合は，この限りではない．

しかし，chestの中の人は，この「過程」をどのように捉えているのだろうか?chest部の加速度は，chest部の床の反作用によって彼に伝わる．したがって、彼は、床の上に全身を横たえたくなければ、足でこの圧力を受け止めなければなりません。そのとき彼は、地球上のだれもが家の一室に立つのとまったく同じように、chestの中に立っていることになる。このとき、手に持っていた体を離すと、chestの加速度はその体に伝わらなくなり、そのため体は加速された相対運動でchestの床に近づくことになる。さらに観察者は、どんな体を実験に使っても、chestの床に向かう体の加速度はいつも同じ大きさであることを確信する。

このように、箪笥の中の人は、前節で述べた重力場に関する知識をもとに、自分と箪笥は時間に対して一定の重力場の中にあるという結論に達することになる。もちろん、 、なぜ箪笥はこの重力場で落下しないのかと一瞬戸惑うが、箪笥の蓋の中央にある鉤とそれに取り付けられたロープを発見し、箪笥は重力場で静止しているという結論に至る。

我々はこの人を微笑んで，彼の結論は間違っていると言うべきなのだろうか?むしろ、彼の状況の捉え方が理性にも既知の力学的法則にも反していないことを認めなければならない。最初に考えた「ガリレオ空間」に対して加速しているにもかかわらず、chestは静止していると見なすことができるのである。このように、相対性原理を、互いに対して加速される参照物体を含むように拡張する十分な根拠が得られた。そしてその結果、相対性の一般化された仮定に対する強力な論拠が得られたのである。

このような解釈の可能性は、すべての物体に同じ加速度を与えるという重力場の基本的な性質、あるいは、同じことになるが、慣性質量と重力質量の等量の法則にかかっていることを注意しなければならない。この自然法則が存在しなければ、加速されたchestにいる人は、重力場を仮定して、自分の周りの物体( )の挙動を解釈することはできないだろう。また、経験に基づいて、自分の参照物体を「静止している」と仮定することも正当化されないだろう。

箪笥の中の人が、蓋の内側にロープを固定し、そのロープの自由端に胴体を取り付けたとする。その結果、ロープは「垂直に」下に垂れ下がるように伸びることになる。ロープの張力の原因について意見を求めると、箪笥の中の男は言うだろう。「ロープの張力の大きさを決めるのは，吊り下げられた物体の重力質量である」。一方、空間に自由に構えている観察者は、物事の状態をこう解釈する。「ロープはchest部の加速運動に強制的に参加しなければならず、その運動をロープに取り付けられた身体に伝達する。ロープの張力は、身体の加速をもたらすのに十分な大きさである。ロープの張力の大きさを決定するものは、身体の慣性質量である"。この例に導かれ、相対性原理の拡張が、慣性質量と重力質量の等質性の法則の必要性を暗示していることがわかる。このように、我々はこの法則の物理的な解釈を得ることができた。

加速されたchestの考察から、相対性理論の一般理論が重力の法則について重要な結果をもたらすに違いないことがわかる。実際、相対性理論の一般的な考え方を体系的に追究することによって、重力場が満たす法則が得られている。しかし、この考察が示唆する誤解を読者に警告しておかなければならない。最初に選んだ座標系には重力場が存在しないにもかかわらず、chestの中の男には重力場が存在する。ここで、重力場の存在は常に見かけ上のものに過ぎないと考えるのは簡単である。また、どのような重力場が存在しようとも、別の参照物体を選べば、その参照物体には重力場が存在しないと考えることもできるかもしれない。しかし、これはすべての重力場に当てはまるわけではなく、かなり特殊な重力場に対してのみ当てはまる。例えば、地球の重力場が消滅するような参照体を選ぶことは不可能である。

この最後で相対性理論の一般原理に対して持ち出した、その主張がなぜ説得力を持たないのかが理解できるようになった。 18節.客車の中にいる観察者が、 のブレーキをかけた結果、前方へのジャークを経験することは確かに事実であり、彼はこのことで車両の運動の非一様性(遅れ)を認識するのである。しかし、彼は誰もこのジャークを客車の「本当の」加速度(遅れ)に言及することを強制されません。また、彼は自分の経験をこう解釈するかもしれない。「私の参照体(客車)は永久に静止したままである。しかし、それを基準にして、(ブレーキをかけている間)前方に向けられた重力場が存在し、それは時間に対して変化する。この場の影響を受けて、堤防は地球とともに、後方方向への本来の速度が連続的に減少するような方法で不均一に移動する。"

第21節 古典力学の基礎と特殊相対性理論の基礎はどのような点で不満足なのか?

古典力学の出発点が次のような法則であることは、すでに何度か述べたとおりである。他の物質粒子から十分に離れた物質粒子は、直線上を一様に移動し続けるか、静止状態を維持し続ける。また、この基本法則は、ある固有の運動状態を持ち、互いに相対的に一様な並進運動をする参照体$K$に対してのみ有効であることを繰り返し強調してきた。他の参照体$K$に対して、この法則は成り立たない。古典力学と特殊相対性理論の両方において、我々は、認識された「自然の法則」が成り立つと言える参照体$K$と、これらの法則が成り立たない参照体$K$を区別しているのである。

しかし、論理的な思考方法を持つ人は、このような状態に満足することはできません。彼はこう尋ねる。「ある参照体 (あるいはその運動状態)が他の参照体(あるいはその運動状態)よりも優先されるのはどうしてだろうか?この優先順位の理由は何なのだろうか?この問いが意味するところを明確に示すために、私は比較を用いることにする。

私はガスレンジの前に立っている。レンジの上に並んで立っているのは、片方がもう片方と見間違うほどよく似た2つのフライパンである。どちらも半分くらいは水が入っている。ところが、片方の鍋からは蒸気が出続けているのに、もう片方の鍋からは出ていない。ガスレンジも鍋も見たことがないのに、これには驚いた。しかし、もし私が今、最初の鍋の下に青っぽい色の光るものがあり、もう一方の鍋の下にはないことに気づいたら、たとえ私がそれまでガスの炎を見たことがなくても、私は驚かなくなる。というのは、この青みがかった何かが蒸気の放出を引き起こすか、少なくともそうなる可能性があるとしか言いようがないからだ。しかし、もし私がどちらの場合にも青っぽいものに気づかず、一方は蒸気を出し続け、他方は出さないことを観察するならば、2つの鍋の異なる振る舞いをもたらす何らかの状況を発見するまで、私は驚きと不満のままであろう。

同様に，私は古典力学(あるいは特殊相対性理論)において基準系$K$と$K'$に関して考察される物体の異なる振る舞いを帰することができる本当の何かを無駄に探している．^[1]しかし、E.マッハはそれを最も明確に認識し、この異議のために、力学は新しい基礎の上に置かれなければならないと主張した。

第22節 相対性理論の一般原理からのいくつかの推論

この考察は 20節の考察は、相対性原理が重力場の特性を純粋に理論的に導き出す立場にあることを示している。例えば、どのような自然現象であっても、ガリレオ領域でガリレオ基準物体$K$に対して起こる時空の「軌道」がわかるとしよう。純粋に理論的な操作によって(つまり、単に計算によって)、この既知の自然な過程が、$K$に対して相対的に加速された参照体$K'$から見て、どのように見えるかを見つけることができる。 しかし、この新しい参照体$K'$に対しては重力場が存在するので、我々の考察によって、重力場が研究対象の過程にどう影響するかも知ることができる。

例えば、(ガリレイの法則に従って)$K$に対して一様な直線運動の状態にある物体は、加速された参照体$K'$(chest)に対して加速された、一般的には の曲線運動を実行していることを我々は知ることができる。この加速度または曲率は、$K'$に対して相対的に優勢な重力場の移動体への影響に対応する。 重力場がこのように物体の運動に影響を与えることは知られているので、我々の考察は本質的に何も新しいものをもたらさない。

しかし、光線について同様の考察を行うと、根本的に重要な新しい結果が得られる。ガリレオ的な参照体$K$に対して、このような光線は速度$c$で直線的に伝わる。同じ光線の経路が、加速されたchest部(参照体$K'$)を基準にして考えると、もはや直線でないことは容易に示すことができる。このことから、一般に重力場では光線は曲線的に伝搬すると結論づけられる。この結果は、2つの点で非常に重要である。

そもそも、現実と比較することができる。この問題を詳細に検討すると、一般相対性理論が要求する光線の曲率は、我々が実際に利用できる重力場では極めて小さいものでしかないが、それでも太陽をかすめるように通過する光線の曲率の大きさは1.7秒角と見積もられる。このことは、次のように明らかになるはずである。地球から見て、ある恒星は太陽の近くにあるように見えるので、皆既日食の時に観察することができる。このような時、これらの星は、太陽が天の別の場所に位置している時の見かけの位置と比較して、上記の量だけ太陽から外側にずれているように見えるはずである。この推理の正否を検証することは、最も重要な問題であり、天文学者が早期に解決することが期待されている。^[2]

第二に、この結果は、一般相対性理論によれば、特殊相対性理論における二つの基本的仮定のうちの一つを構成し、すでに何度も言及した、真空中の光速の不変の法則が、いかなる無限の妥当性も主張できないことを示す。光線の湾曲は、光の伝搬速度が位置によって変化するときにのみ起こりうる。さて、この結果、特殊相対性理論とそれに伴う相対性理論全体が灰塵に帰すと考えるかもしれない。しかし、実際にはそうではない。つまり、重力場の影響を無視できる限りにおいてのみ、特殊相対性理論は無限の有効性を持つということができるのである。

相対性理論に反対する人々は、特殊相対性理論が一般相対性理論によって覆されたとしばしば主張するので、適切な比較によってこの事実を明らかにすることが望ましいだろう。電気力学が発達する以前は、静電気学の法則は電気の法則と見なされていた。現在では、電場が静電的な考察から正しく導かれるのは、決して厳密には実現しないが、電気質量が互いに、また座標系に対して全く静止している場合だけであることが分かっている。このような理由から、電気力学におけるマクスウェルの場の方程式によって、静電場が覆されたと言うのは正当なことなのだろうか。そんなことはない。静電気力学は、制限的なケースとして電気力学に含まれている。後者の法則は、場が時間に対して不変である場合の前者の法則に直接つながっているのだ。このように，どのような物理理論にも，それ自体が，より包括的な理論の導入への道筋を示し，その中で，それが限定的な事例として生き続けることほど，公平な運命はないだろう。

光の透過の例で述べたように、相対性理論によって、重力場がない場合の法則がわかっている自然現象に対する重力場の影響を理論的に導き出すことができるようになった。しかし、相対性理論がその鍵を握る最も魅力的な問題は、重力場そのものが満たす法則を解明することである。これを少し考えてみよう。

我々は、参照体を適切に選択すれば「ガリレオ的」な振る舞いをする時空間領域、すなわち重力場が存在しない領域についてよく理解している。今、このような領域を、何らかの運動をする参照体$K$と呼ぶと、$K'$に対して、空間と時間に対して可変な重力場が存在することになる。^[3]この場の性質は、もちろん、$K'$に選ばれた運動に依存する。一般相対性理論によれば、このようにして得られるすべての重力場に対して、重力場の一般法則が満たされなければならない。しかし、このような特殊な重力場から重力の一般法則が導かれるのではないかという期待もある。この希望は、最も美しい方法で実現されている。しかし、この目標の明確なビジョンと実際の実現との間に、重大な困難を克服する必要があった。このことは、物事の根源に深く関わっているので、あえて読者に伏せておく。時空連続体の概念をさらに拡大する必要があるのだ。

第23節 回転する基準物体上での時計と測定棒の挙動

これまで私は、一般相対性理論における時空間データの物理的解釈について、あえて語ることを控えてきた。その結果、ある種のぞんざいな扱いを受けることになったが、特殊相対性理論からわかるように、それは決して重要でないとはいえず、許されることでもある。しかし、この問題は、読者の忍耐力と抽象化能力に少なからず負担をかけるものであることを、最初に申し上げておきたい。

我々は、以前にもよく使ったことのある、かなり特殊なケースから再び始めることにする。運動状態が適切に選択された参照体$K$に対して重力場が存在しない時空間領域を考えてみよう．$K$は，考えた領域に関してガリレオ参照体であり，特殊相対性理論の結果は に対して成り立つ．同じ領域を 第二参照体$K'$に参照させるとしよう． それは$K$に対して一様に回転している． 我々の考えを固定するために，$K'$は平面円板状であり，その中心に対して平面内で一様に回転していると想像することにしよう．円盤の上に偏心して座っている観察者$K'$は，半径方向の外側に働く力を感じるが，これは元の参照体$K$に対して静止している観察者にとっては慣性の効果(遠心力)と解釈されるであろう．しかし，円盤上の観測者は自分の円盤を「静止」している参照体とみなすことができる．相対性の一般原則に基づけば，そうすることが正当化される。自分自身、そして実際、円盤に対して静止している他のすべての物体に働く力を、彼は重力場の影響とみなす。しかし、この重力場の空間分布は、ニュートンの重力理論ではありえないようなものである。^[4]しかし、観測者は一般相対性理論を信じているので、このことは気にならない。重力に関する一般法則、すなわち星の運動を正しく説明するだけでなく、自分自身が経験する力の場も説明できる法則が定式化されると信じる彼は、全く正しいのである。

観察者は，時計と測定棒を使って円板上で実験を行う．そうすることで，彼の意図は，円板$K'$を参照した時間と空間のデータの意味について正確な定義に到達することであり，これらの定義は彼の観察に基づくものである．この事業で彼はどのような経験をするのだろうか。

まず，同じように作られた2つの時計の1つを円盤の中心に，もう1つを円盤の縁に置き，円盤に対して静止した状態にする．ここで、回転していないガリレオ基準体$K$から見て、2つの時計が同じ速度で進むかどうかを問う。この基準体から判断すると、円盤の中心にある時計には速度がないのに対し、円盤の縁にある時計は回転の結果、$K$に対して運動していることになる。12節で得られた結果によれば，後者の時計は円板の中心にある時計の速度よりも永久に遅い速度で進むことになる，つまり，$K$から観察されるようになる． 我々が円板の中心にある時計と並んで座っていると想像する観察者によって，同じ効果が指摘されることは明らかであろう．このように、我々の円板上で、あるいはより一般的なケースとして、あらゆる重力場において、時計が置かれている(静止している)位置によって、時計はより速く進んだり、あるいはより遅く進んだりするのである。このため、基準物体に対して静止した状態で配置された時計の助けを借りて、時間の合理的な定義を得ることは、 可能ではない。このような場合に、先に述べた同時性の定義を適用しようとすると、同様の困難が生じるが、この問題にはこれ以上立ち入らないことにしたい。

さらに、この段階では、空間座標の定義にも乗り越えられない困難がある。観測者が標準的な測定棒(円盤の半径に比べて短い棒)を円盤の縁に接するように当てると、ガリレオ体系から判断して、この棒の長さはIより小さくなる。 12節によれば、運動体は運動の方向に短縮されるからである。一方、測定棒は、$K$、半径の方向に円板に当てると、長さが短くなることはない。そこで、観測者がまず測定棒で円盤の円周を測定し、次に円盤の直径を測定して、一方を他方で割ると、商としておなじみの数 π = 3.14 ...ではなく、より大きな数を得ることができる。^[5]しかし、もちろん、$K$に対して静止している円盤の場合、この操作 は正確にπを得るだろう。このことは、ユークリッド幾何学の命題が、回転する円板上でも、重力場でも、少なくとも、すべての位置と方向で棒の長さをIとすると、正確に成立しないことを証明している。従って、直線という考え方も意味を失ってしまう。したがって、特殊理論の議論に使われた方法で、円盤に対する座標x、y、zを正確に定義する立場にはなく、事象の座標と時間が定義されていない限り、これらが発生する自然法則に正確な意味を付与することはできない。

このように、一般相対性理論に基づくこれまでの結論は、すべて疑問視されているように思われる。実は、一般相対論の仮定を正確に適用するためには、微妙な回り道をしなければならない。以下では、そのための準備をすることにしよう。

第24節 ユークリッドと非ユークリッドな連続体

私の目の前に大理石のテーブルが広がっている。このテーブルのどの点からも他の点へ行くには、ある点から「隣の」点へ連続して通過し、このプロセスを(大きな)回数繰り返す、言い換えれば、「跳躍」を実行せずに点から点へ行くことによって可能となる。読者は、私がここで言う「近接」や「ジャンプ」が何を意味するのか、十分に理解できると思う(あまり衒(てら)い過ぎない限り)。表面のこの性質は，表面を連続体として表現することによって表される．

ここで、大理石板の大きさに比べて小さな、同じ長さの小さな棒がたくさん作られたと仮定してみよう。長さが等しいというのは、端が重ならず、1本が他の1本の上に置けることを意味します。次に、この小さな棒を4本、大理石板の上に並べて、対角線の長さが等しい四角形(正方形)を構成するようにする。対角線の長さが等しいことを確認するために、 の小さな試験棒を使用する。この正方形に、それぞれ1本の棒を共通に持つ同様の正方形を追加する。そのため、このような "媚薬 "は、"媚薬 "であっても、"媚薬 "でなければならない。正方形の各辺は2つの正方形に、各角は4つの正方形に属するように配置されている。

この事業を最大の困難に陥ることなく遂行できることは、まさに驚異的である。次のことを考えればよいのである。ある瞬間に三つの正方形が角で合わさると、四番目の正方形の二辺はすでに敷かれており、その結果、正方形の残りの二辺の配置はすでに完全に決定されているのである。しかし、私はもう四角形の対角線が等しくなるように調整することができない。もし対角線が勝手に等しくなるのなら、これは大理石の板と小さな棒の特別な恩恵であり、私はただただ感謝するのみである。この建設が成功するには、このような驚きをたくさん経験しなければならない。

もし、すべてがうまくいったなら、大理石の板の点は、「距離」(線分間隔)として使われた小さな棒に対してユークリッド連続体を構成していると言うことになる。正方形の一つの角を「原点」として選ぶことで、この原点を基準にして正方形の他の全ての角を二つの数によって特徴づけることができる( )。このような場合、私は、原点から出発して、「右」そして「上」に向かって進み、検討中の正方形の角に到達するために、何本の棒を通過しなければならないかを述べるだけでよい。この2つの数は、小さな棒の配置によって決まる「デカルト座標系」を基準にして、この角の「デカルト座標」となる。

この抽象的な実験を次のように修正することで、この実験が成功しない場合もあることを認識することができる。棒は温度の上昇に比例して「膨張」すると仮定しよう。この場合、2本の小さな棒は、テーブルのどの位置でも一致させることができる。しかし、テーブルの中央部にある小さな棒は膨張するが、外周部にある棒は膨張しないので、正方形の構成は加熱中に必然的に乱れなければならない。

単位長さとして定義された小さな棒を参照すると、大理石の板はもはやユークリッド連続体ではなく、その助けを借りて直交座標を直接定義する立場にもないため、上記の構成はもはや実行できないのである。しかし、 テーブルの温度によって、小さな棒と同様の影響を受けない(あるいは全く受けない)ものが他にもあるので、大理石の板が "ユークリッド的連続体" であるという視点を維持することはごく自然に可能である。これは、長さの測定や比較について、より微妙な規定を設けることで、納得のいく形で行うことができる。

しかし，もしあらゆる種類の棒(すなわち，あらゆる材質の棒)が，可変的に加熱された大理石板の上にあるとき，温度の影響に関して同じように振る舞うのだとしたらしかし，もし，あらゆる種類の(すなわち，あらゆる材質の)棒が，さまざまに加熱された大理石の板上にあるとき，温度の影響に関して同じようにふるまい，また，温度の影響を検出する手段が，上に述べたような実験における棒の幾何学的ふるまい以外にないとしたら，最善の策は，棒の端がこの2点と一致させることができるならば，板上の2点に距離1を割り振ることだろう，そうしなければ，我々の進行がきわめて任意であるといわざるを得ないのだから。それなら，デカルト座標の方法は捨てて，剛体に対するユークリッド幾何学の有効性を前提としない別の方法に変更しなければならない．^[6]読者は、 ここに描かれている状況が、相対性理論の一般的な仮定(Section 23).

第25節 - ガウス座標

ガウスによると、この解析的、幾何学的な組み合わせの問題処理方法は、次のように到達することができる。我々は、任意の曲線のシステム(図4を参照)を想像するテーブルの表面に描かれた。これらを$u$-曲線と呼び、それぞれを番号で示す。図には、曲線$u=1$, $u=2$と$u=3$が描かれている。曲線$u=1$と$u=2$間には，無限に大きな数が描かれることを想像しなければならないが，これらはすべて1と2の間にある実数に対応する．そして，$u$-曲線の系ができ，この「無限に密な」系がテーブルの全表面を覆っている．これらの$u$-曲線は互いに交差してはならず、表面の各点は1つの曲線だけが通過しなければならない。このように，$u$の完全に明確な値が，大理石板の表面上のすべての点に属しているのである．このように表面上に描かれた$v$-曲線の系を想像してみる。 したがって、テーブルの表面上のすべての点には、$u$と$v$の値が属することになる。この2つの数字を表の表面の座標(ガウス座標)と呼ぶことにする。たとえば、図の点$P$は、ガウス座標$u=3$, $v=1$を持つ。次に、表面上の隣接する2つの点$P$と$P'$は、以下の座標に対応する。

テンプレート:C/s${\begin{array}{ll}P:&u,v\\P':\qquad &u+du,\ v+dv\end{array}}$テンプレート:C/e

ここで、$du$と$dv$は非常に小さな数字を意味する。同様に、小さな棒で測った$P$と$P'$の間の距離(線分間隔)を、非常に小さな数 で示すことができる。そして、ガウスによれば、次のようになる。

$ds^{2}=g_{11}du^{2}+2g_{12}du\ dv+g_{22}dv^{2}$

ここで$g_{11}$, $g_{12}$, $g_{22}$は、$u$と$v$に完全に明確な形で依存する大きさである。大きさ$g_{11}$, $g_{12}$と$g_{22}$は $u$-曲線と$v$-曲線に対する測定棒の振る舞いを決定し、したがってテーブルの表面に対する相対的な振る舞いも決定する。測定棒を基準にして、考慮された表面の点がユークリッド連続体を形成する場合、ただしこの場合に限り、$u$-曲線と$v$-曲線を描き、それに数字を付けることが可能であり、その方法は単に次のようになる。

$ds^{2}=du^{2}+dv^{2}$

この条件下では、$u$-曲線と$v$-曲線はユークリッド幾何学の意味で直線であり、互いに直交している。ここで、ガウス座標は単にデカルト座標のことである。ガウス座標は、互いに非常にわずかに異なる数値が "空間内の "隣接する点に関連付けられるような性質の、2組の数値の関連付けにほかならないことは明らかである。

これまでのところ、これらの考察は2次元の連続体についてである。しかし、ガウス法は、3次元、4次元、あるいはそれ以上の次元の連続体にも適用することができる。例えば、4次元の連続体があるとすると、次のように表現することができる。連続体の各点に、任意に4つの数$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$これを "座標 "と呼ぶことにする。隣接する点は、隣接する座標の値に対応する。隣接する点$P$と$P'$に距離 ds が関連付けられているとすると、この距離は測定可能で物理的な観点からよく定義されており、次の式が成り立つ。

$ds^{2}=g_{11}dx_{1}^{2}+2g_{12}dx_{1}dx_{2}\dots +g_{44}dx_{4}^{2},$

ここで、大きさ$g_{11}$などは、連続体の位置によって変化する値を持つ。連続体がユークリッド的なものであるときだけ、座標$x_{1}\dots x_{4}$を連続体の点に関連づけることが可能であり、その結果、単純に

$ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}+dx_{4}^{2}.$

この場合、4次元の連続体には、3次元の測定で成り立つ関係と類似した関係が成り立つ。

しかし、上にあげた$ds^{2}$のガウス処理は、必ずしも可能ではない。それは、検討中の連続体の十分に小さい領域がユークリッド連続体として見なすことができる場合にのみ可能である。例えば、これは明らかにテーブルの大理石のスラブと温度の局所的な変化の場合に保持される。大理石の板と温度の局所的な変化の場合、温度は実質的に一定であり、したがって、棒の幾何学的挙動はユークリッド幾何学の規則に従って、ほぼあるべき姿である。したがって、前節の正方形の構造の不完全さは、この構造がテーブルの表面のかなりの部分にまで及ぶまで、はっきりと現れないのである。

これをまとめると、次のようになる。ガウスは、一般的に連続体の数学的処理のための方法を発明し、その中で "サイズ-関係" (近隣のポイント間の "距離")が定義されている。連続体の各点には、連続体の寸法として多くの数字(ガウス座標)を割り当てられる。これは、割り当てには一つの意味しか持たせず、隣接する点には無限に小さな差しかない数(ガウス座標)が割り当てられるようにするためである。ガウス座標系は、デカルト座標系を論理的に一般化したものである。ユークリッド以外の連続体にも適用できるが、それは、定義された「大きさ」や「距離」に関して、対象となる連続体の小さな部分ほど、ユークリッド系に近い振る舞いをする場合に限られる。

第26節 ユークリッド連続体として考える特殊相対性理論の時空連続体

ここで漠然と示されていたミンコフスキーの考えを、より正確に定式化する段階に入った。第17節.特殊相対性理論では、4次元の時空連続体を記述するために、ある座標系が優先される。我々はこれを "ガリレオ座標系 "と呼んでいる。これらの系では、ある事象、言い換えれば四次元連続体の一点を決定する四つの座標$x$, $y$, $z$, $t$が、本書の第一部で詳しく述べたように、簡単な方法で物理的に定義されている。あるガリレオ系から、最初の系を基準にして一様に運動する別の系への移行には、ローレンツ変換の方程式が有効である。これらの最後のものは、特殊相対性理論からの演繹の基礎をなすものであり、それ自体は、すべてのガリレオ系参照系に対する光の伝達法則の普遍的な 有効性を表現したものにほかならない。

ミンコフスキーは、ローレンツ変換が次のような単純な条件を満たすことを発見した。4次元連続体の相対位置がガリレオ基準体$K$に対して空間座標の差$dx$, $dy$, $dz$と時間差$dt$で与えられる2つの隣接する事象を考えよう。第2節のガリレオ系を参照して、これら2つの事象に対応する差分が$dx'$, $dy'$, $dz'$, $dt'$であると仮定しよう。そして、これらの大きさは常に次の条件を満たす。^[7]

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}=dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}-c^{2}dt'^{2}$.

ローレンツ変換の有効性は、この条件から導かれる。これを次のように表現することができる。の大きさは

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}$,

これは、4次元時空連続体の隣接する2点に属するが、選択されたすべての(ガリレオ)参照体について同じ値を持つ。仮に$x$, $y$, $z$, ${\sqrt {-1}}ct$を$x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$で置き換えると、以下の結果も得られる。

$ds^{2}=dx_{1}^{~2}+dx_{2}^{~2}+dx_{3}^{~2}+dx_{4}^{~2}$.

これは参照体の選択とは無関係である。この大きさ$ds$を、2つの事象または4次元の点の「距離」と呼ぶ。

したがって、時間変数として、実量$t$の代わりに虚量${\sqrt {-1}}ct$を選ぶと、特殊相対性理論にしたがって、時空連続体を「ユークリッド」的な4次元連続体と見なすことができる。このことは、前節の考察から導かれる。

第27節 一般相対性理論の時空連続体はユークリッド連続体ではない

本書の最初の部分では、簡単で直接的な物理的解釈を可能にする時空間座標を使用することができました。第26節によれば、4次元の直交座標と見なすことができる。これは、光の速度が一定であるという法則に基づいて可能であった。しかし第21節において一般相対性理論では、この法則を維持することができない。それどころか、後者の理論によれば、重力場が存在する場合には、光の速度は常に座標に依存しなければならないという結果に到達したのである。の具体的な図解に関連して、我々は第23節で重力場が存在すると、座標と時間の定義が無効になることを発見し、特殊相対性理論における目的を達成することができた。

これらの考察の結果から、 相対性理論の一般原理によれば、時空連続体はユークリッド的なものとは見なせず、ここには、二次元連続体の例として紹介した、温度の局所変化を伴う大理石の板に相当する一般的な場合があると確信するに至ったのである。そこでは、等しい棒からデカルト座標系を構築することができなかったように、ここでは、剛体と時計から系(参照体)を構築することは不可能であり、それは、互いに剛体的に配置された測定棒と時計が、位置と時間を直接示すような性質のものでなければならない。これが、第23章で直面した難問の本質であった。

しかし、25節と26節の考察は、この難題を克服する方法を示している。我々は、4次元の時空連続体を任意の方法でガウス座標に言及する。我々は、連続体(事象)の各点に4つの数字、$x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$(座標)を割り当てる。これは少なくとも直接的な物理的意味を持たず、連続体の点に明確だが任意の方法で番号を付けるという目的にのみ役立っている。この配置は、$x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$を「空間」座標、$x_{4}$を「時間」座標とみなさなければならないような種類のものである必要さえないのである。

読者は、このような世界の記述は極めて不十分だと思うかもしれない。ある事象に特定の座標($x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$)を割り当てることは、それ自体に何の意味もないとしたら、どういうことだろうか。しかし、もっと注意深く考えてみると、この心配は杞憂であることがわかる。例えば、何らかの運動をする物質的な点を考えてみよう。もしこの点が持続性のない一瞬の存在に過ぎないとしたら、それは時空間において$x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$という一つの値系で記述されることになる。したがって、その永続的な存在は、連続性を与えるように互いに近接した、無限に多数のそのような値系によって特徴づけられなければならない。このように、物質点に対応する、4次元連続体における(一次元)線が存在する。同様に、連続体の中のこのような線は、運動している多くの点に対応する。これらの点に関して物理的な存在を主張できる唯一の記述は、実際にはそれらの出会いに関する記述である。我々の数学的処理では、このような出会いは、問題の点の運動を表す2本の線が、特定の座標系、$x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$を共通に持っているという事実で表現される。熟慮の結果，読者は間違いなく，現実にはこのような出会いが，物理的な記述の中で我々が出会う時間-空間的性質の唯一の実際の証拠である を構成することを認めるだろう．

基準体に対する物質的な点の運動を記述するとき、この点と基準体の特定の点との出会いを記述する以上のことはない。また、時計と物体との出会いを観察し、時計の針と文字盤上の特定の点との出会いを観察することで、対応する時間の値を決定することができる。これは、測定棒による空間測定の場合も同様で、少し考えればわかることである。

一般に、次のような記述がある。すべての物理的記述は、2つの事象AとBの時空間の一致を示すいくつかの記述に分解される。ガウス座標の観点からは、そのようなすべての記述は、それらの4つの座標の一致によって表される$x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$。このように、現実には、ガウス座標による時空連続体の記述は、参照体の助けを借りた記述に完全に取って代わるものであり、後者の記述様式の欠点に悩まされることはない。

第28節 相対性理論の一般原理の厳密な定式化

ここで示した相対性原理の暫定的な定式化を、厳密な定式化で置き換えることができるようになった。 18節に示した相対性原理の仮の定式化を、厳密な定式化によって置き換えることができるようになった。 そこでは、「自然現象の記述(自然一般法則の定式化)には、その運動状態がどうであれ、すべての参照体が等価である」という形式が用いられているが、特殊相対性理論で採用された方法の意味での剛体参照体の使用は、一般に時空の記述では不可能であるため、この形式は維持できない。ガウス座標系が参照体の代わりをしなければならない。次の文は、相対性理論の一般原理の基本的な考え方に相当する。"すべてのガウス座標系は、自然の一般法則を定式化するために本質的に等価である。"

この相対性理論の一般原理をさらに別の形で述べることができる。それは、特殊相対性理論の自然な拡張である の形のときよりも、さらに明確に理解できるようにするものである。特殊相対性理論によれば、ローレンツ変換を利用して、(ガリレオ)参照体$K$の時空変数$x$, $y$, $z$, $t$を新しい参照体$K'$の時空変数$x'$, $y'$, $z'$, $t'$に置き換えると、自然の一般法則を表す方程式は同じ形式の方程式に置き換わるという。一方，一般相対性理論によれば，ガウス変数を任意に代入することで$x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$の方程式は同じ形式の方程式に変換されなければならない．なぜなら，すべての変換(ローレンツ変換に限らず)は，あるガウス座標系から別の座標系への移行に対応する。

もし我々が昔ながらの三次元的なものの見方に固執するならば、一般相対性理論の基本的な考え方が受けている展開を次のように特徴づけることができるだろう。特殊相対性理論では、ガリレオ的な領域、すなわち重力場が存在しない領域について言及している。この場合、ガリレイ的参照体は参照体として機能する。すなわち、「孤立した」物質点の一様な直線運動というガリレイ的法則が相対的に成り立つように運動状態が選択された剛体である。

ある考察によれば、同じガリレオ領域を非ガリレオ参照体にも参照させるべきであるという。そのとき、これらの天体に対して、特殊な重力場が存在する(参照：第20節と第23節).

重力場ではユークリッド的な性質を持つ剛体は存在しないので、一般相対性理論では架空の参照剛体は意味をなさない。時計の動きも重力場の影響を受けるので、時計を直接使った物理的な時間の定義は、特殊相対性理論と同じような説得力を持つとは到底言えない。

このため、全体としてどのようにでも動くだけでなく、運動中にその形が自由に変化する非剛体的な基準体が使用される。時計は、運動の法則がどのようなものであれ、たとえ不規則なものであっても、時間の定義に使用される。これらの時計は、それぞれ非剛体の基準点上に固定されていると考えなければならない。これらの時計は、(空間的に)隣接する時計で同時に観測される「読み」が、互いに不定に小さい量だけ異なるという条件だけを満たしている。この非剛体参照体は、「参照軟体」と呼ぶのが適切で、ガウス型4次元座標系 を任意に選択したものとほぼ等価である。ガウス座標系と比較して、「軟体動物」にある種の理解しやすさを与えているのは、時間座標とは対照的に、空間座標の独立した存在を(本当に不当な)形式的に保持することである。軟体動物上のすべての点は空間点として扱われ、軟体動物を参照体として考える限り、軟体動物に対して相対的に静止しているすべての物質点は静止点として扱われる。相対性理論の一般原理は、自然界の一般法則の定式化において、これらの軟体動物をすべて等しく正しく、等しく成功裏に参照体として使用できることを要求しているのであり、法則そのものは軟体動物の選択とは全く無関係でなければならない。

相対性原理が持つ大きな力は、上で見たように、結果として自然法則に課せられた包括的な制限にある。

第29節 相対性理論の一般原理を基礎とした重力の問題の解決

読者がこれまでの考察にすべて従うならば、重力の問題の解決に至る方法を理解するのにこれ以上の困難はないだろう。

まず、ガリレオ的な領域、すなわち、ガリレオ的な参照体に対して重力場が存在しない領域について考察することから始める。 $K$を基準とした計測棒と時計の挙動は、特殊相対性理論から知られている。同様に、「孤立した」物質点の挙動も知られており、後者は一様に直線的に動く。

ここで、この領域をランダムなガウス座標系、または「軟体動物」$K'$を参照体として参照することにしよう。そして、$K'$に対して、(特定の種類の)重力場が存在する。我々は、単に数学的変換によって、$K'$を基準として、測定棒や時計、また自由に動く物質点の振る舞いを学ぶことができる。我々はこの振る舞いを、重力場の影響下にある測定棒、時計、物質点の振る舞い$G$と解釈する。ここで我々は、仮説として、重力場がガリレオの特殊事例から導出できない場合でも、座標変換によって、測定棒、時計、自由に動く物質点に対する重力場の影響は、同じ法則に従って起こり続けることを紹介する。

次のステップは、重力場の時空間挙動$G$を調べることである。これは座標の変換によってガリレオの特殊なケースから単純に導かれたものである。この振る舞いは、記述に用いる参照体(軟体動物)がどのように選ばれても、常に有効な法則として定式化されている。

この法則は、検討中の重力場が特殊なものであるため、まだ重力場の一般法則にはなっていない。重力場の一般法則を見つけるためには、やはり上に見出された法則の一般化を得る必要がある。しかし、これは次のような要求を考慮することによって、気まぐれに得ることができる。

(a) 求められる一般化も同様に、相対性理論の一般仮説を満たす必要がある。

(b) 考慮される領域に何らかの物質がある場合、その慣性質量のみ、および 従って第15節によればそのエネルギーだけが、場を刺激する効果として重要である。

(c) 重力場と物質が一緒になって、エネルギー(と衝動)保存の法則を満たす必要がある。

最後に、相対性理論の一般原理は、重力場がないときに既知の法則に従って起こるすべての過程、すなわち、すでに特殊相対性理論の枠にはめ込まれている過程の経過に対する重力場の影響を決定することを可能にする。この点については、すでに説明した測定棒、時計、自由に動く物質点についての方法に従って、原理的に進める。

このようにして相対性原理から導かれた重力理論は、その美しさにおいて優れているだけでなく、また、第21節にて明らかにされた古典力学につきものの欠点を取り除くことにおいても優れている。また、慣性質量と重力質量の等質性という経験則の解釈にも優れているが、古典力学では説明できない天文学の観測結果もすでに説明している。

この理論の適用を、重力場が弱いと見なすことができ、すべての質量が座標系に対して光速に比べて小さな速度で移動する場合に限定すると、第一近似としてニュートンの理論が得られることになる。ニュートンでは、互いに引き合う物質点間の引力は、それらの間の距離の二乗に反比例するという仮説を導入しなければならなかったのに対し、後者の理論は、ここでは特に仮定することなく得られる。計算の精度を上げていくと、ニュートンの理論からの逸脱が現れてくるが、そのほとんどは、その小ささゆえに、観測の試練を逃れなければならない。

ここで、このようなずれの一つに注目しなければならない。ニュートンの理論によれば、惑星は太陽の周りを楕円に運動する。これは、恒星の運動と他の惑星の作用を無視すれば、恒星に対する位置を永久に維持することになる。したがって、観測された惑星の運動をこれら二つの影響について修正し、ニュートンの理論が厳密に正しいのであれば、惑星の軌道は恒星を基準として固定された楕円になるはずである。この推論は、非常に正確に検証することができ、1つを除くすべての惑星について、現在のところ到達可能な繊細な観測によって得られる精度で確認されている。そのため、このような甚だしい弊害が発生するのである。ルベリエの時代から、水星の軌道に対応する楕円は、上記の影響を補正した後、恒星に対して静止しているのではなく、軌道の平面と公転運動の意味で非常にゆっくりと回転していることが知られている。この軌道楕円の回転運動について得られた値は、1世紀あたり43秒角であり、この値は数秒角の範囲内で正しいことが確認された。この効果は、この目的のために考案された確率の低い仮説のもとで、古典力学によってのみ説明することができる。

相対性理論に基づくと、太陽を回るすべての惑星の楕円は、必然的に上記のように回転しなければならない。水星を除くすべての惑星では、この回転は小さすぎて、現在可能な繊細な観測では検出できないが、水星の場合は1世紀に43秒角となり、この結果は観測と厳密に一致する。

この1つを除けば、観測によって検証することができる理論からの推測は、これまで2つしかなかった。太陽の重力場による光線の湾曲である。^[8]そして、大きな星から届く光のスペクトル線が、地球上で同じように作られる光(つまり、同じ種類の分子によって作られる)の対応する線と比較して、ずれていることである。私は、この理論から得られるこれらの推論もまた、間違いなく確認されるだろうと考えている。

脚注

1. この反論は、参照体の運動状態が、その維持に外部機関を必要としないような性質のものである場合、例えば参照体が一様に回転しているような場合に、より重要な意味を持つ
2. 王立天文学会と王立天文学会の合同委員会が装備した2つの探検隊の星の写真によって、理論が要求する光の偏向の存在が、1919年5月29日の日食の際に初めて確認された(付録III参照)
3. 第20節での議論を一般化したものである。
4. 円盤の中心で磁場は消え、外側に進むにつれて中心からの距離に比例して大きくなる
5. この考察では、ガリレオ(非回転)系 を参照体として用いなければならない。なぜなら、特殊相対性理論の結果の妥当性は に対してのみ仮定できるからである( に対して重力場が支配的である)
6. 数学者は、この問題に次のような形で向き合ってきた。ユークリッド3次元空間にある表面(例えば楕円体)が与えられたとすると、この表面には平面と同じように2次元の幾何学が存在する。ガウスは、この2次元の幾何学を、3次元のユークリッド連続体に属していることを利用せずに、第一原理から扱うという課題に取り組んだ。もし我々が、表面の剛体棒で作られる構造を想像すると(上記の大理石の板と同様)、ユークリッド平面幾何学に基づいて得られるものとは異なる法則が、これらに対して保持されていることが分かるはずである。表面は、ロッドに対してユークリッド連続体ではなく、我々は表面で直交座標を定義することはできません。ガウスは、表面の幾何学的関係を扱うことのできる原理を示し、多次元、非ユークリッド連続体を扱うリーマンの方法への道を指摘した。このように、数学者たちは、相対性理論の一般公約によって導かれる形式的な問題を、はるか昔に解決しているのである
7. 付録IとIIを参照 そこで導き出された座標自体の関係は、座標の差に対しても有効であり、したがって座標の微分(無限に小さい差)に対しても有効である
8. 1919年、エディントンらによって観測された。(参照 付録 III, pp.126-129)