相対性理論 特殊相対性理論と一般相対性理論/第1部
第1部:特殊相対性理論
[編集]第1節 幾何学的命題の物理的意味
[編集]この本を読んでいる皆さんの多くは、学生時代にユークリッドの幾何学という高貴な建物を知っており、その壮大な建物の高い階段で良心的な教師たちに数えきれないほど追い回されたことを、おそらく愛というより尊敬をもって思い出していることでしょう。このような過去の経験から、この科学の最も突拍子もない命題でさえも真実でないと宣告する者を、あなたは間違いなく軽蔑の目で見るでしょう。しかし、もし誰かがあなたに尋ねたら、この誇らしい確信の感覚はすぐに消えるでしょう。「では、これらの命題が真であるという主張はどういう意味であるか?では、この質問について少し考えてみよう。
幾何学は、「平面」、「点」、「直線」といったある種の概念から、 、多かれ少なかれ明確な考えを連想することができる。そして、これらの考えに基づいて、「真」として受け入れようとするある種の単純な命題(公理)を出発点とするものである。そして、その正当性を認めざるを得ない論理的プロセスに基づいて、残りのすべての命題がそれらの公理から導かれることが示される、つまり、それらが証明されるのである。そして、ある命題が公理から正規の方法で導かれたとき、その命題は正しい(「真」)ことになる。こうして、個々の幾何学的命題の「真」の問題は、公理の「真」の問題に還元される。さて，最後の問題は，幾何学の方法では答えられないだけでなく，それ自体全く意味を持たないことが，長い間知られていた．2点を通る直線が1本だけであることが正しいかどうかを問うことはできない．ユークリッド幾何学が扱うのは「直線」と呼ばれるものであり、それぞれの直線はその上に位置する2点によって一意に決定されるという性質を持っている、と言うしかない。なぜなら、私たちは「真」という言葉によって、常に「現実の」対象との対応を指定する習慣があるからである。しかし、幾何学は、それに関係する観念と経験の対象との関係ではなく、これらの観念それ自体の間の論理的接続にのみ関係しているのである。
にもかかわらず，なぜ幾何学の命題を "真 "と呼ばなければならないかを理解するのは難しいことではない．幾何学的な考えは、自然界にある多かれ少なかれ正確な対象物に対応しており、これらの最後の対象物が、これらの考えを生み出す唯一の原因であることは間違いない。幾何学は、その構造に可能な限り大きな論理的統一性を与えるために、そのような方針を控えるべきである。例えば、実質的に剛体である物体上の2つの印のついた位置を「距離」で見るという習慣は、我々の思考習慣に深く刻み込まれているものである。さらに、観察する場所を適切に選び、片目で観察したときに見かけ上の位置が一致すれば、3つの点は直線上にあるとみなす習慣がある。
今、我々の思考習慣に従って、ユークリッド幾何学の命題を、実質的に剛体上の2点は、その剛体が受けるいかなる位置の変化にも関係なく、常に同じ距離(線間)に対応するという一つの命題で補うと、ユークリッド幾何学の命題は、実質的に剛体の可能な相対位置に関する命題に分解されることになる[1]。このように補足された幾何学は、物理学の一分野として扱われるようになる。このように解釈された幾何学的命題の「真偽」を問うことができるようになった。なぜなら、幾何学的な考えと結びついた現実のものに対して、これらの命題が満たされるかどうかを問うことが正当化されるからである。より厳密には、この意味での幾何学的命題の「真理」とは、定規とコンパスを使った作図に対する妥当性のことである、と表現することができる。
もちろん、この意味での幾何学的命題の「真理」に対する確信は、かなり不完全な経験にのみ基づいている。ここでは、幾何学的命題の「真理」を仮定し、後の段階(一般相対性理論)で、この「真理」が制限されていることを確認し、その制限の程度を考察することにしよう。
第2節 座標系
[編集]これまで述べてきた距離の物理的な解釈に基づいて、剛体上の2点間の距離を測定によって確定することも可能である。この目的のためには、一度だけ使用する、標準的な尺度として採用する「距離」(棒S)が必要である。今、剛体上の二つの点をAとBとすると、幾何学の規則に従って、両者を結ぶ直線を引くことができる。これがすべての長さの測定の基本である[2]。
ある事象のシーンや空間における物体の位置の記述はすべて、その事象や物体が一致する剛体(参照体)上の点の特定に基づいている。これは、科学的な記述だけでなく、日常生活にも当てはまる。"Trafalgar Square, London "という場所の指定を分析すると、次のような結果が得られる[3]。分析すると、次のような結果になる。地球は場所指定の対象となる剛体であり、"Trafalgar Square, London "は名称が付与され、空間的に事象が一致する明確な点である[4]。
この原始的な場所指定法は、剛体の表面上の場所のみを扱い、この表面上に互いに区別可能な点が存在することに依存している。しかし、位置指定の性質を変えることなく、この2つの制限から解放されることができる。例えば、トラファルガー広場に雲がかかっているとすると、広場にポールを垂直に立てて、それが雲に届くようにすれば、地球の表面に対する雲の位置を決定することができる。標準測定ロッドで測定したポールの長さと、ポールの足の位置を特定することで、完全な場所の特定が可能になります。この図解をもとに、位置の概念がどのように洗練されてきたかを見ることができる。
(a) 位置の指定がなされた剛体を、要求する位置に到達するように補足した剛体を想像する。
(b) 物体の位置を特定する際、指定した基準点の代わりに数値(ここでは測定ロッドで測定したポールの長さ)を利用する。
(c) 雲の高さは，雲に届く支柱が立てられていないときでも言うことができる。地上の異なる位置から雲を光学的に観察し、光の伝搬の特性を考慮して、雲に到達するために必要なポールの長さを決定するのである。
このことから、位置の記述において、数値的な尺度によって、参照する剛体上の(名前を持つ)標示位置の存在から独立させることができれば、有利であることがわかる。測定の物理学では、デカルト座標系の適用によってこれを達成することができる。
これは、互いに垂直な3つの平面からなり、剛体( )に剛体的に取り付けられている。座標系に言及すると、任意のイベントのシーンは、イベントのシーンからこれらの3つの平面表面に落とすことができる3つの垂直または座標(x、y、z)の長さの指定によって(主要な部分について)決定されます。この3つの垂直線の長さは、ユークリッド幾何学が定めた規則と方法に従って、剛体の測定棒を使った一連の操作によって決定することができる。
実際には、座標系を構成する剛体は一般に入手できないし、また、座標の大きさは実際には剛体の棒を使った構造によって決まるのではなく、間接的な手段によって決まるのである。物理学や天文学の成果がその明瞭さを保つためには、位置の指定が持つ物理的な意味を、常に上記のような考察に基づいて追求しなければならない[5]。
その結果、次のような結果が得られる。空間内の事象の記述には、その事象を参照しなければならない剛体の利用がつきものである。この関係は、ユークリッド幾何学の法則が「距離」に対して成り立つことを前提としており、「距離」は剛体上の2つのマークという慣習によって物理的に表現される。
第3節 古典力学における空間と時間
[編集]力学の目的は、物体が「時間」によって空間内の位置をどのように変化させるかを説明することである。もし私が、真剣な考察や詳細な説明なしに、このように力学の目的を定式化するならば、神聖な明晰さの精神に対する重大な罪を私の良心に負わせることになるだろう。では、その罪を明らかにしよう。
ここでいう「位置」と「空間」が何を意味するのかが明確ではない。一様に走行している鉄道車両の窓際に立って，石を投げずに堤防の上に落としてみる。すると、空気抵抗の影響を無視して、石は一直線に下りていくのが見える。しかし、その様子を歩道から見ていた歩行者は、石が放物線を描いて落下していることに気がつく。では、石が通過する「位置」は、「現実には」直線上にあるのだろうか、放物線上にあるのだろうか。また、ここでいう「空間における」運動とは何を意味するのだろうか。前節の考察から、その答えは自明である。まず第一に、我々は「空間」という曖昧な言葉を完全に排除する。 、正直言って、我々はわずかな概念も形成できないことを認めなければならない。そして、それを「実質的に剛体である参照体に相対する運動」に置き換えるのである。参照体(鉄道車両や堤防)に対する位置は、すでに前節で詳しく定義した。参照体」の代わりに、数学的記述に便利な「座標系」を挿入すれば、次のように言える状態になる。石は、馬車に固定された座標系に対しては直線を描くが、地面(堤防)に固定された座標系に対しては放物線を描くとする。この例から、独立して存在する軌跡("パスカーブ "と呼ばれる)は存在しないことが明らかであろう。[6]というものは存在せず、ある特定の参照物体に対する軌跡のみである。
運動の完全な記述を得るためには、身体が時間とともにどのように位置を変えるか、つまり、軌道上のすべての点について、身体がそこに何時位置しているかが記述されなければならない。これらのデータは、時間の定義によって補足されなければならない。この定義によって、これらの時間値は、本質的に観察可能な大きさ(測定の結果)とみなすことができる。古典力学に立脚するならば、 、次のような方法でこの条件を満たすことができる。このような場合，(1)と(2)は同じ構造の2つの時計があり，鉄道車両の窓際にいる人はそのうちの1つを，歩道にいる人はもう1つを手に持っているとする。それぞれの観測者は，自分が手にしている時計が動くたびに，その石が自分の基準物体上に占める位置を決定する。このとき、光の伝搬速度が有限であるために起こる不正確さを考慮に入れていない。このことと、もう一つの困難については、後で詳しく説明する必要がある。
第4節 ガリレオ座標系
[編集]よく知られているように、慣性の法則として知られているガリレイ・ニュートンの力学の基本法則は、次のように述べることができる：他の物体から十分に離れた物体は、静止状態または直線上の均一な運動の状態を継続する。この法則は、物体の運動について述べているだけでなく、力学の記述に使用できる基準物体や座標系を示すものでもある。目に見える恒星は、慣性の法則が高い近似度で確実に成立する天体である。しかし、もし地球に固定された座標系を用いると、この座標系に対して、すべての恒星は天文学的な1日の間に巨大な半径の円を描くことになり、これは慣性の法則の記述とは反対の結果になる。この法則に従うならば、これらの運動は、恒星が円運動をしない座標系にのみ言及しなければならないのである。 の座標系で、その座標系に対して慣性の法則が成り立つような運動の状態を「ガリレオ座標系」という。ガリレイ・ニュートンの力学の法則は、ガリレイ座標系に対してのみ有効であると見なすことができる。
第5節 相対性原理(制限的意味において)
[編集]できるだけ分かりやすくするために、鉄道車両が一様に移動していると仮定した場合の例に戻ろう。その運動を一様な平行移動と呼ぶことにする(「一様」とは速度と方向が一定であること、「平行移動」とは馬車が堤防に対して位置を変えても回転しないことである)。例えば、カラスが空中を飛んでいて、堤防から見るとその動きは一様で一直線であるとしよう。この空飛ぶカラスを走行中の鉄道車両から観察すると、カラスの運動は速度と方向が異なるが、一様で直線的であることに変わりはない。抽象的に表現すれば、次のようになる。質量 が座標系 に対して一様に直線運動しているならば、 が に対して一様に並進運動している限り、質量 も第二の座標系に対して一様に直線運動する。 前章の議論に従って、次のようになる。
これがガリレイ座標系であるならば、他のすべての座標系 は、 に対して、一様な並進運動の状態にあるとき、ガリレイ座標系であることになる。 に対して，ガリレイ・ニュートンの力学法則は， に対してとまったく同じように成り立つ．
この信条を次のように表現すると，一般化が一歩進む．もし、 に対して、 が回転のない一様に動く座標系であるならば、自然現象は に対して、 と全く同じ一般法則に従って進行する。このステートメントは相対性の原理(限定的な意味)と呼ばれるものである。
すべての自然現象が古典力学によって表現できると確信している限り、この相対性原理の有効性を疑う必要はなかった。しかし、最近の電気力学や光学の発展に伴い、古典力学ではすべての自然現象を物理的に記述することができないことが明らかになった。このとき、相対性原理の有効性についての議論が始まったが、この問いに対する答えが否定的であることは、 不可能ではないように思われたのである。
とはいえ、相対性原理の有効性を大いに支持する2つの一般的な事実が、はじめに存在する。古典力学は、すべての物理現象を理論的に説明するための十分な基礎を与えてはくれないが、それでも、天体の実際の運動がすばらしいとしか言いようのない繊細さで提供されているので、かなりの「真実」を認めざるを得ない。したがって、相対性原理は力学の領域では非常に正確に適用されなければならない。しかし、このような広範な一般性を持つ原理が、ある現象領域では正確に成立し、別の領域では無効であるということは、アプリオリにあまり考えられません。
ここで、2番目の議論に進むが、これについてはさらに、後で触れることにする。もし相対性原理(限定的な意味での)が成り立たないなら、互いに一様に相対運動するガリレオ座標系 , , , などは、自然現象の記述に等価ではないだろう。この場合、我々は、自然法則は特に単純な方法で定式化することが可能であり、もちろん、可能なすべてのガリレオ座標系 の中から、特定の運動状態のもの ( ) を参照体として選択することを条件としてのみ、と考えるよう拘束されるはずである。そのため，この系を「絶対安静」と呼び，他のすべてのガリレオ系を「運動中」と呼ぶことが(自然現象の記述に有利であるため)正当化されるはずである 。例えば，私たちの堤防が系 であったとすると，私たちの鉄道車両は系 となり，これに対しては よりも単純ではない法則が成り立つだろう．この単純さの低下は，車両 が に対して運動している(すなわち「本当に」)ことによる。 を基準にして策定された自然の一般法則では，車両の速度の大きさと方向が必ず関係するはずである。このような場合、「」(以下「」)は、「」(以下「」)と呼ぶ。さて、地球は太陽の周りを公転しているため、鉄道車両が秒速30キロメートルで走っているのと同じようなものである。もし相対性原理が成立していなければ、どの瞬間にも地球の運動方向が自然法則に組み込まれ、物理システムの挙動は地球を中心とした空間における方向( )に左右されると考えるべきであり、相対性原理はそのようなことを意味しない。なぜなら、1年の間に地球の公転速度の向きが変わるため、1年を通して地球が仮説のシステム( )に対して静止していることはありえないからである。しかし、最も注意深い観察によって、地球の物理的空間におけるこのような異方性、すなわち異なる方向が物理的に等価でないことが明らかにされたことはない。このことは、相対性原理を支持する非常に強力な論拠となる。
第6節 古典力学で採用されている速度の加算の定理
[編集]私たちの古い友人である鉄道車両がレールに沿って一定の速度 で走行し，その車両の長さをある人が速度 で進行方向に横切ると仮定してみよう．このとき，人はどの程度の速さで，言い換えれば，どの程度の速度で，盛土に対して前進するのだろうか ．唯一の可能な答えは、次の考察から得られるように思われる。もし男が1秒間静止していたら，堤防に対して馬車の速度に等しい数値の距離 を進むことになる。しかし，彼が歩いた結果，この1秒間に馬車に対してさらに距離 ，したがって堤防に対しても相対的に進む．距離 は，彼が歩いている速度に数値的に等しい．このように，全体として，彼は2回目に考えた堤防との相対的な距離 をカバーする。この結果は，古典力学で採用されている速度の加算 の定理を表現しているが，維持できないこと，言い換えれば，今書き留めた法則が現実には成り立たないことを後で確認することになる。しかし、当分の間、その正しさを仮定する。
第7節 光の伝搬法則と相対性原理との見かけ上の矛盾
[編集]物理学において、光が空の空間を伝播すること以上に単純な法則はほとんどない。学校の子供なら誰でも、この伝播は直線で行われ、速度は = 300,000 km/sec.であることを知っているか、あるいは知っていると信じている。そのため、このような場合、そのような色彩を持つ星が食されたときに、異なる色彩で同時に発光の最小値が観測されることはないだろう。オランダの天文学者デシッターも、二重星の観測から同様の考察を行い、光の伝搬速度が光を発する物体の運動速度に依存しないことを示すことができた。このように、光の伝搬速度が「空間内の方向」に依存するという仮定自体があり得ないのである。
要するに、光の速度が一定であるという単純な法則 (真空中) が、学校の子供によって正当に信じられていると仮定してみよう。この単純な法則が，良心的に考えている物理学者を最大の知的困難に陥れていることを誰が想像するだろうか?このような困難がどのように生じるかを考えてみよう。
もちろん、光の伝播の過程も、他のあらゆる過程も、剛体である参照体(座標系)を参照しなければならない。そのような系として、もう一度、堤防を選んでみよう。その上の空気は取り除かれていると考えよう。光線を堤防に沿って送ると、光線の先端は堤防に対して の速度で伝わることが、上記からわかる。ここで、鉄道車両が再び鉄道路線に沿って速度 で走行し、その方向は光線の方向と同じであるが、その速度はもちろんはるかに小さいと仮定しよう。ここで、馬車に対する光線の伝搬速度について考えてみよう。ここでは、光線が馬車に対して相対的に歩いている人の役を演じているので、前節の考察を適用できることは明らかである。堤防に対する人間の速度 は、ここでは堤防に対する光の速度に置き換えられる。 は馬車に対する光の必要速度であり、次のようになる。
したがって、キャリッジに対する光線の伝搬速度は、 よりも小さくなります。
しかし、この結果は、次のように定めた相対性の原則と矛盾する。第5節 なぜなら、他のあらゆる自然界の一般法則と同様に、相対性原理によれば、真空中の光の伝達の法則は、鉄道車両を参照体とした場合にも、レールを参照体とした場合と同じでなければならないからである。しかし、以上の考察から、これは不可能であるように思われる。もし、すべての光線が堤防に対して速度 で伝搬するならば、この理由から、光の伝搬の別の法則が馬車に対して必然的に成り立つと思われ、相対性原理と矛盾する結果である。
このジレンマを考えると、相対性原理と光の真空伝播の単純な法則のどちらかを放棄する以外にはないように思われる。これまでの議論を注意深く見てこられた方々は、あまりに自然で単純であるがゆえに説得力をもって知性に訴えかけてくる相対性原理を維持することを期待されていることだろう。その場合、真空中の光の伝播の法則は、相対性原理に適合したより複雑な法則に置き換えられなければならない。しかし、理論物理学( )の進展は、このような方向には進まないことを示している。ローレンツの電気力学的、光学的現象に関する画期的な理論的研究は、この分野における経験が、電磁気現象の理論に決定的に結びつき、その結果、真空中の光速が一定であるという法則が必要不可欠であることを示している。このため、理論物理学者たちは、相対性原理に反するような経験的データは見つかっていないにもかかわらず、相対性原理を否定する傾向を強めていった。
この時、相対性理論が登場する。物理学的な時間・空間概念を分析した結果、現実には相対性原理と光の伝播法則の間にはいささかの矛盾もなく、両者を体系的に保持することによって、論理的に厳密な理論に到達しうることが明らかとなった。この理論は、後に述べる拡張理論と区別して、特殊相対性理論と呼ばれている。以下では、特殊相対性理論の基本的な考え方を紹介する。
第8節 物理学における時間の観念について
[編集]我が鉄道の堤防のレールに雷が落ちたのは、互いに遠く離れた2カ所( と )である。この2つの雷光は同時に発生したと私は主張する。この発言に意味があるかと問えば、あなたは「はい」と答えるだろう。しかし、私が今、この文の意味をもっと正確に説明するようにとあなたに頼むと、あなたはこの質問に対する答えが一見したところそれほど簡単ではないことに、少し考えてから気がつきます。
しばらくすると、おそらく次のような答えが返ってくるでしょう。「もちろん、もし私が、実際のケースで2つの出来事が同時に起こったかどうかを観察によって決定するよう依頼されたら、多少の考察が必要でしょう」。私はこの答えに納得がいかないのは、次の理由からである。仮に、有能な気象学者が独創的な考察の結果、雷は必ず と の場所に同時に落ちることを発見したとすると、この理論的結果が現実に即しているかどうかを検証する作業に直面するはずである。我々は、「同時」という概念が関係するすべての物理的な記述で同じ困難に遭遇する。この概念は、物理学者にとって、実際のケースでそれが満たされているかどうかを発見する可能性を持つまでは、存在しないのである。したがって、同時性の定義が必要であり、この定義によって、今回のケースで、両方の落雷が同時に起こったかどうかを実験によって決定できるような方法を提供するものでなければならないのである。この要件が満たされない限り、物理学者として(もちろん物理学者でなくても同じことだが)、同時性の記述に意味を持たせることができると想像すると、私は自分を欺くことになる。(この点については，読者が十分に納得するまでは，先に進まないようにお願いしたい)．
この問題をしばらく考えた後、あなたは同時性をテストするために次の提案をします。レールに沿って測定することによって，接続線 を測定し，距離 の中点 に観察者を置くべきである。この観察者には、 の場所 と の両方を同時に視覚的に観察できるような装置(例えば90°に傾けた2枚の鏡)を用意する。観測者が 2 つの稲妻を同時に知覚した場合、それらは同時である。
私はこの提案に非常に満足しているが，それでもこの問題が完全に解決されたと見なすことはできない，というのは，次のような異議を唱えざるを得ないからである。「 にいる観測者が雷光を知覚するための光は，長さ に沿って長さ と同じ速度で移動すると知ってさえいれば，あなたの定義は確かに正しいだろう．しかし，この仮定を検証することは，時間を測定する手段をすでに手にしている場合にのみ可能である。このように、私たちはここで論理的な円環の中で動いているように見えるだろう。 さらに検討した結果、あなたは私をやや軽蔑したような目で見て、そしてこう宣言しました。「というのも、現実には、この定義は光についてまったく何も想定していないからである。同時性の定義に要求されることはただ一つ、あらゆる現実のケースにおいて、定義されるべき概念が満たされているかどうかについての経験的な判断を与えなければならないということである。私の定義がこの要求を満たしていることは、議論の余地がない。光が経路 を横断するために、経路 の場合と同じ時間を必要とすることは、実際には光の物理的性質に関する仮定でも仮説でもなく、 、同時性の定義に到達するために私が自由意志で行うことのできる規定なのである。"
この定義は、2つの事象だけでなく、選ぼうと思えばいくつでも、また、参照する物体に対する事象のシーンの位置とは無関係に、正確な意味を与えるために使用できることは明らかである[7](ここでは鉄道の堤防)。このように、我々は物理学における「時間」の定義にも導かれる。そのために、鉄道の線路(座標系)の点 , , に同一の構造の時計が置かれ、それらのポインタの位置が同時に(上記の意味で)同じになるように設定されていると仮定する。この条件下では、ある事象の「時間」は、その事象のすぐ近く(空間的に)にあるこれらの時計のうちの1つの読み(針の位置)であると理解する。このように、本質的に観測可能なすべての事象には、時間的な価値が付随しているのである。
この規定には、さらに物理的な仮説が含まれており、これに反する経験的な証拠がない限り、その有効性はほとんど疑われないだろう。これらの時計は、同じ構造であれば、すべて同じ速度で進むと仮定されています。もっと正確に言うと基準体の異なる場所に静止している2つの時計が、一方の時計のポインタの特定の位置が他方の時計のポインタの同じ位置と(上記の意味で)同時であるように設定されている場合、同一の「設定」は常に(上記の定義の意味で)同時である。
第9節 同時性の相対性
[編集]これまで、我々はある特定の物体("鉄道の堤防 "と呼ぶ)を対象として考察してきた。図1に示すように、非常に長い列車がレールに沿って等速度( )で走行しているとする。この列車に乗る人は、列車を硬い参照体(座標系)として見ることになる。
列車を基準とする。そうすると、線路沿いで起こるすべての出来事は、列車のある特定の地点でも起こることになる。また、同時性の定義は、列車を基準にしても、堤防を基準にしても全く同じように行うことができる。しかし、当然の帰結として、次のような疑問が生じる。
鉄道の堤防を基準にして同時である2つの事象(例えば2つの稲妻 と )は、列車に対しても相対的に同時なのだろうか?我々は、その答えが否定的でなければならないことを直接的に示す。
落雷 と が堤防に対して同時であるというのは、落雷が発生した と の場所で発せられた光線が、堤防の長さ の中間点 で互いに出会うことを意味している。しかし、事象 と は、列車上の位置 と にも対応する。 を走行中の列車上の距離 の中点とする。ちょうど稲妻が発生したとき[8]この点 は当然ながら点 と一致するが、列車の速度 に伴って図の右方向に移動する。もし、列車の位置 に座っている観察者がこの速度を持っていなかったら、彼は に永久に留まり、稲妻の閃光 と が発する光線は同時に彼に到達し、つまり、彼のいる場所でちょうど出会うことになる。しかし，実際には(鉄道の堤防を基準に考えると)，彼は から出る光線に向かって急いでおり，一方， から出る光線より先に走っている。したがって，観察者は から出る光線を， から出る光線を見るより早く見ることになる。鉄道車両を参照体とする観測者は、 従って、稲妻の閃光 は稲妻の閃光 よりも早く起こったという結論に達せざるを得ない。こうして、重要な結果にたどり着いた。
堤防を基準にして同時である事象は、列車を基準にして同時ではないし、その逆もまた然りである(同時性の相対性)。すべての参照体(座標系)には固有の時間があり、その時間を示す参照体が示されない限り、ある事象の時間の記述に意味はない。
さて、相対性理論が登場する以前は、物理学において時間の記述は絶対的な意味を持つ、すなわち参照する物体の運動状態とは無関係であるということが常に暗黙のうちに前提されていたのである。しかし、この仮定が最も自然な同時性の定義と相容れないことは、先ほど見たとおりである。この仮定を捨てれば、光の真空伝播の法則と相対性原理(で展開)の間の矛盾はなくなる。 第7節で展開される)相対性原理との矛盾がなくなる。
この考慮により、そのような対立に導かれました。 第6節しかし，それはもはや通用しない．その節で我々は、馬車に対して毎秒距離wを横断する馬車の中の人は、時間の各秒に堤防 に対して同じ距離も横断すると結論づけた。しかし、前述の考察によれば、馬車に対するある事象の所要時間は、(基準体としての)堤防から判断した同じ事象の所要時間と等しいと見なしてはならないのである。したがって、歩行中の人間が、鉄道線路に対して距離wを、堤防から判断して1秒に等しい時間で移動することは、論外である。
この考察は、さらに第二の仮定に基づいている。 第6節の考察は、さらに第二の仮定に基づいている。この仮定は、相対性理論が導入される以前から常に暗黙のうちになされていたが、厳密に考察すると、恣意的であるように思われる。
第10節 距離の観念の相対性について
[編集]列車上のある2点を考えてみよう[9]速度 で堤防に沿って走行する列車上の2つの点を考えて，その距離を問う．我々はすでに，距離の測定には基準となる物体が必要であり，その物体を基準にして距離を測定することができることを知っている。列車を基準体(座標系)にするのが最も単純な方法である。列車内の観測者は、測定棒を直線上(例えば客車の床に沿って)に、印をつけた点から他の点まで必要な回数だけ印をつけ、間隔を測定する。そして、何回棒を立てればよいかを示す数字が、必要な距離となる。 鉄道路線からの距離を判断しなければならない場合は、また別の問題となる。ここで，次のような方法が考えられる。距離を求める列車上の2点を と とすると，これらの点は両方とも 堤防に沿って速度 で移動していることになる。 まず、堤防から見て、ある時刻に と の2点がちょうど通過する堤防の点 と を決定する必要がある。堤防のこれらの点 と は、以下の時間の定義を適用して決定することができる。 第8節.そして、これらの点 と の間の距離は、堤防に沿って計測棒を繰り返し当てることによって計測される。
先験的に、この最後の測定が最初の測定と同じ結果をもたらすかどうかは、決して確実ではない。したがって、堤防から測定した列車の長さは、列車自体の中で測定して得た長さとは異なるかもしれない。この事情は、次のような一見明白な検討に対して提起されなければならない第二の異論につながる。 第6節.すなわち，客車の中の人が，列車から測った距離 を単位時間でカバーする場合， - 堤防から測ったこの距離も，必ずしも に等しいとは限らないのである。
第11節 ローレンツ変換
[編集]最後の3つのセクションの結果は、光の伝播の法則と相対性原理との見かけ上の矛盾が、古典力学から2つの正当化できない仮説を借用した考察によって導き出されたことを示している(第7節)が、古典力学から二つの正当化できない仮説を借用した考察によって導かれていることがわかる。
(1) 2つの事象の間の時間間隔(時間)は、参照する物体の運動状態に依存しない。
(2) 剛体の2点間の空間間隔(距離)は、参照物体の運動状態に依存しない。
のジレンマは解消される。 第7節で導かれた速度の加算の定理が無効になるため、このジレンマは解消される。 第6節は無効となる。空虚における光の伝播の法則が相対性原理と両立する可能性が出てきて、疑問がわいてくる。の考察をどのように修正すればよいのだろうか。 第6節 この経験の2つの基本的な結果の間の明らかな不一致を取り除くために，私たちはどのように検討を修正しなければならないのだろうか?この疑問は、一般的な疑問へとつながる。第6節の議論では，列車と堤防の両方に対する場所と時間を扱わなければならない．ある出来事の場所と時間が鉄道の堤防に対してわかっているとき、列車との関係でどうやって場所と時間を見つけるのだろうか?この質問に対して、光の真空伝播の法則が相対性原理に反しないような性質の考えうる答えはあるのだろうか。言い換えればすべての光線が、堤防と列車との相対的な伝送速度( )を持つような、両基準体に対する個々の事象の場所と時間との間の関係を考えることができるだろうか。この質問は、非常に明確な肯定的な答えと、1つの参照体から別の参照体に変わるときの事象の時空の大きさに関する完全に明確な変換法則につながるものである。
このことを扱う前に、次のような付随的な考察を導入しておくことにする。これまで我々は、数学的に直線の機能を想定しなければならない堤防に沿って起こる事象だけを考えてきた。で示したような方法で 第2節で示したように，この参照体を横方向と縦方向に棒の枠組( )で補足して，どこでも起こる事象をこの枠組を基準にして局在化できるようにすることができる。同様に、速度 で走行する列車が空間全体にわたって続いていると想像することができる。そうすると、すべての事象は、それがどんなに遠くにあっても、第2節の枠組みを基準にして局在化することができる。現実には、これらの枠組みは、固体の不可侵性のために、常に互いに干渉し合うという事実を無視しても、基本的な誤りを犯すことはないだろう。このような枠組みにおいて、互いに直交する3つの面をマークし、「座標平面」(「座標系」)と呼ぶことにする。そして、座標系 は堤防に対応し、座標系 は列車に対応する。ある出来事がどこで起こったにせよ、空間的には座標平面上の3つの垂直線 , , によって に対して固定され、時間的には時間値 によって固定される。 に対して、同じ事象は空間と時間に関して、対応する値 , , , によって固定される。もちろん、これらは , , , と同一ではない。これらの大きさが物理的な測定の結果とみなされることは、すでに詳しく述べられている。
明らかに我々の問題は次のように正確に定式化することができる。 に関して同じ事象の大きさ , , , , が与えられたとき， に関してある事象の 値 , , , , は何であろうか?この関係は、 と に関して、1本の同じ光線について(もちろんすべての光線について)、真空中の光の透過の法則が満たされるように選択されなければならない。図([10]図2)に示された座標系の空間における相対的な向きについて、この問題は、方程式によって解決される。
この方程式系は「ローレンツ変換」と呼ばれる。[11]
もし、光の透過の法則の代わりに、時間と長さの絶対的な性質 についての古い力学の暗黙の仮定を基礎としていたならば、上記の代わりに、次の方程式が得られたはずである。
この方程式系は、しばしば「ガリレイ変換」と呼ばれる。ガリレイ変換は、ローレンツ変換の光速 を無限に大きな値に代入することでローレンツ変換から得ることができる。
次の図によって、ローレンツ変換によって、参照体 と参照体 の両方において、真空中の光の透過の法則が満たされることが容易に理解できるだろう。光信号は正の -軸に沿って送られ，この光刺激は次の方程式に従って進む。
すなわち，速度 である。ローレンツ変換の式によれば，この と の単純な関係は， と の関係を含んでいる。 実際，ローレンツ変換の第1式と第4式において， に値 を代入すれば，次のようになる。
となり、そこから除算して、式
がすぐに出てくる。システム( )を参照すると、光の伝搬はこの方程式に従って行われる。したがって、参照体( )に対する透過速度も、 に等しいことがわかります。他のどの方向に進む光線に対しても、同じ結果が得られます。もちろん，ローレンツ変換の方程式はこのような観点から導かれたものであるから，驚くにはあたらない．
第12節 計測棒と時計の運動中の挙動
[編集]一端 (始点) が点 と一致し、他端 (終点) が点 と一致するように、 の -軸にメートルロッドを配置しなさい。システム( )に対するメートルロッドの相対的な長さはいくらか?これを知るには、システム の特定の時刻 に対して、棒の始点と終点がどこにあるかを尋ねればよい。ローレンツ変換の第一方程式によって、時間 におけるこの2点の値は次のように示される。
であり，その点間の距離は である。しかし、メートル棒は に対して速度 で動いている。 したがって、速度 でその長さの方向に動く剛体のメートル棒の長さは メートルであることがわかる。このように、剛体の棒は動いているときは静止しているときよりも 短くなり、速く動くほど短くなる。速度が の場合， となるはずで，さらに大きな速度では平方根は虚数になってしまう．このことから、相対性理論では、速度 は限界速度の役割を果たし、いかなる実在の物体も到達することも超えることもできない、と結論づけることができる。
もちろん、この速度 が限界速度であるという特徴は、ローレンツ変換の式からも明確に導かれる。なぜなら、 の値を よりも大きくすると、これらの式は意味をなさなくなるからである。
逆に、 に対して -軸で静止しているメートル棒を考えた場合、 から判断した棒の長さは となるはずである。これは、我々の考察の基礎となる相対性の原則に全く合致している。
この大きさは、測定棒と時計によって得られる測定の結果以上でも以下でもないからである。もし我々がガリレオ変換に基づいて考察していたなら、その運動の結果として棒の収縮を得ることはできなかっただろう。
ここで、 の原点( )に永久に位置する秒時計を考えてみよう。 と はこの時計の2つの連続した刻みである。ローレンツ変換の1番目と4番目の方程式は，この2つの刻みについて与える。
以上から判断すると、時計は速度 で動いている。この参照体から判断すると、時計の2打の間に経過する時間は1秒ではなく、 秒、つまり、やや大きな時間である。その運動の結果として、時計は静止しているときよりもゆっくりと進む。ここでも速度 は達成不可能な限界速度の役割を果たす。
第13節 速度加算の定理。フィゾーの実験
[編集]さて、実際に私たちが時計や測定棒を動かすことができるのは、光の速度に比べれば小さな速度に過ぎない。したがって、前節の結果を現実と直接比較することはほとんどできないだろう。しかし、その一方で、これらの結果は非常に特異なものであると感じられるに違いない。そのため、私はこれから理論から別の結論を導き出すことにする。この結論は、前述の考察から容易に導き出すことができ、実験によって最も優雅に確認された結論である。
において 第6節で、古典力学の仮説から得られる形で、一方向の速度の加算の定理を導きました。この定理は、ガリレイ変換(第11節).馬車の中を歩く人の代わりに、座標系 に対して相対的に動く点を導入し、次式に従う。
ガリレイ変換の第1式と第4式により、 と を と で表すと、次のようになります。
この式は、システム を基準とした点の運動法則(堤防を基準とした人の運動法則)を表現していることにほかならない。この速度を記号 で表し、次のように求める。 第6節,
(A)
しかし、この考察は相対性理論に基づいても同じように行うことができる。式中
とすると、 と は、ローレンツ変換の第1式と第4式を用いて、 と で表現しなければならない。このとき、式(A)の代わりに、式
(B)
であり、相対性理論による一方向の速度に対する加算の定理に相当する。ここで、これら二つの定理のうち、どちらがより経験に即しているかという問題が生じる。この点については、半世紀以上前に優秀な物理学者フィゾーが行った最も重要な実験によって啓発される。この実験は、 以来、最高の実験物理学者たちによって繰り返されており、その結果については疑いの余地はない。この実験は、次のような問題に関係している。光は動かない液体の中をある特定の速度で進む 。上記の液体が管内を速度 で流れているとき、管T(添付の図3参照)内を矢印の方向にどれくらいの速さで進むか?
相対性原理に従えば、光の伝播は液体に対して常に同じ速度( )で行われ、液体が他の物体を基準にして運動しているかどうかに関係なく、当然のこととして考えなければならないだろう。このように、液体に対する光の速度と、管に対する後者の速度が分かっているので、管に対する光の速度が必要である。
このような問題があることは明らかである。 第6節の問題があることは明らかである。管は鉄道の堤防あるいは座標系 の役を演じ，液体は馬車あるいは座標系 の役を演じ，最後に光は馬車に沿って歩く人，あるいは現在の セクションの移動点の役を演じる。管に対する光の速度を とすれば、ガリレイ変換やローレンツ変換が事実に対応するように、これは式(A)または式(B)で与えられる。実験[12]は相対性理論に由来する式(B)を支持し、その一致は実に正確である。ゼーマンによる最近の最も優れた測定によれば、光の伝搬に対する流速 の影響は、式(B)により1パーセント以内の精度で表される。
しかし、この現象については、相対性理論が発表されるはるか以前に、H.A.ローレンツによって理論が与えられていたことに注目しなければならない。この理論は純粋に電気力学的なものであり、物質の電磁気的構造に関する特定の仮説を用いて得られたものである。しかし、このことは、相対性理論を支持する決定的なテストとしてのこの実験の重要性をいささかも減じるものではない。なぜなら、この理論の基礎となったマックスウェル・ローレンツの 電気力学は、相対性理論と何ら対立するものではない。むしろ相対性理論は、電気力学の基礎となった、互いに独立した仮説の驚くほど単純な組み合わせと一般化として、電気力学から発展してきたのである。
第14節 相対性理論の発見的価値
[編集]このページで述べた我々の思考回路は、次のように要約することができる。経験上、一方では相対性原理が成立し、他方では真空中の光の透過速度は定数 に等しいと考えなければならないという確信に至ったのである。この2つの仮定を統合することによって、我々は自然のプロセスを構成する事象の直方体座標 , , と時間 に対する変換法則を得たのである。この関連で，我々はガリレイ変換を得たのではなく，古典力学とは異なり，ローレンツ変換を得たのである。
このような思考の過程で重要な役割を果たしたのが、実際の知識によって正当化される光の伝播の法則である。しかし、ローレンツ変換を手に入れると、これと相対性原理を組み合わせて、次のように理論をまとめることができる。
自然界のあらゆる一般法則は 、元の座標系 の時空変数 , , , の代わりに、共座標系 の新しい時空変数 , , , を導入すると、全く同じ形式の法則に変換されるように構成されていなければならない。この関連で、通常の大きさとアクセント付きの大きさの関係は、ローレンツ変換によって与えられます。あるいは、簡単に言えば自然界の一般法則はローレンツ変換に対して共変数的である。
これは相対性理論が自然法則に求める明確な数学的条件であり、これによって相対性理論は自然界の一般法則を探索する際の貴重な発見的助力となるのである。もし、この条件を満たさない自然法則が発見されれば、相対性理論の2つの基本的仮定のうち少なくとも1つが否定されたことになる。では、後者の理論がこれまでどのような一般的な結果を示してきたかを見てみよう。
第15節 理論的な一般結果
[編集]これまでの考察から明らかなように、(特殊)相対性理論は電気力学と光学から発展してきたものである。これらの分野では、理論の予測に大きな変化はなかったが、理論の構造、すなわち法則の導出をかなり単純化し、さらに重要なことは、理論の基礎となる独立した仮説の数をかなり減少させたことである。特殊相対性理論は、マックスウェル・ローレンツ理論の妥当性を高め、後者は、たとえ実験がそれほど明白に支持していなかったとしても、物理学者には一般に受け入れられていただろう。
古典力学は、特殊相対性理論の要請に沿うためには、修正が必要であった。 しかし、この修正の大部分は、物質の速度が光の速度と比べてそれほど小さくない、高速運動に関する法則にのみ影響するものである。このような高速運動は、電子とイオン( )の場合にのみ経験する。他の運動については、古典力学の法則からの変化が小さすぎるため、実際には明らかにはならない。星の運動については、相対性理論の一般論に入るまで考えないことにしよう。相対性理論によれば、質量 の物質点の運動エネルギーは、もはやよく知られた式で与えられることはない。
式によって
この式は、速度 が光速 に近づくにつれ、無限に近づいていく。したがって、加速度を発生させるために使用されるエネルギーがどんなに大きくても、速度は常に より小さいままでなければならない。運動エネルギーの式を級数的に展開すると、次のようになる。
これが一と比較して小さいとき，これらの項の3番目は常に2番目と比較して小さく，最後は古典力学で単独で考慮される。最初の項 は速度を含まないので，もし我々が ，点質量のエネルギーがどのように速度に依存するかという問題を扱うだけなら，考慮する必要はない．その本質的な意味については，後で述べることにする。
特殊相対性理論がもたらした一般的な成果の中で最も重要なものは、質量の概念に関するものである。相対性理論が登場する以前、物理学ではエネルギー保存則と質量保存則という二つの基本的な法則が重要視されていた。しかし、相対性理論によって、この2つの法則は1つの法則に統合されたのである。ここで、この統一がどのようにしてなされたのか、また、どのような意味を持つのかを簡単に考えてみよう。
相対性原理は、エネルギー保存則が、ある座標系 を基準にして成立するだけでなく、 に対して一様に並進運動する状態にあるすべての座標系 に関して、あるいは簡潔に言えば、すべての「ガリレオ」座標系に対して成立することを要求しているのである。古典力学とは対照的に，ローレンツ変換は，このような系から別の系への移行における決定的な要因である。
比較的簡単な考察によって、これらの前提から、マクスウェルの電気力学の 基本方程式と合わせて、次の結論を導き出すことができる。速度 で移動する物体は，次のようなエネルギーを吸収する。[13]その過程で速度の変化を受けることなく，放射の形でエネルギー量 を吸収する速度で移動する物体は，結果として，そのエネルギーが量だけ増加することになる。
上記の物体の運動エネルギーの式を考慮すると、物体の必要エネルギーは次のようになる。
したがって、この物体は、速度 で移動する質量 の物体 と同じエネルギーを持つ。したがって、我々は言うことができる。 ある物体がある量のエネルギーを取り込むと、その慣性質量はある量だけ増加する 。物体の慣性質量は一定ではなく、その物体のエネルギーの変化に応じて変化する。物体のシステムの慣性質量は、そのエネルギーの尺度( )と見なすことさえできる。系の質量保存の法則は、エネルギー保存の法則と同一になり、系がエネルギーを取り込んだり、送り出したりしない場合にのみ有効である。エネルギーの式を次のように書くと
これまで私たちの関心を集めてきた という用語は，身体がエネルギーを吸収する前に持っていたエネルギーにほかならないことがわかる。[14] を吸収する前に持っていたエネルギーにほかならない。
この関係を実験と直接比較することは、現時点では不可能である。なぜなら、我々がシステムに与えることのできるエネルギー の変化は、システムの慣性質量の変化として認識できるほど大きくないからである。 は、エネルギーの変化前に存在していた質量 に比べて小さすぎる。このような事情から、古典力学は独立した有効な法則として質量保存を成功裏に確立することができたのである。
最後に基本的なことを付け加えておこう。電磁波の遠方作用に関するファラデー・マクスウェル( )の解釈の成功により、物理学者はニュートンの重力の法則のような(中間媒体を介さない)遠方での瞬間的作用というものは存在しないことを確信するようになった。相対性理論によれば、光速による遠方での作用は、常に遠方での瞬間的な作用、あるいは伝達速度が無限大の遠方での作用に取って代わられる。このことは、この理論において速度 が基本的な役割を担っていることと関係がある。第二部では、この結果が一般相対性理論においてどのように修正されるかを見ることにする。
第16節 経験と特殊相対性理論
[編集]特殊相対性理論は、どの程度経験によって裏付けられているのだろうか。この疑問には、フィゾーの基本実験に関連してすでに述べたような理由で、簡単には答えられない。特殊相対性理論は、電磁気現象に関するマックスウェル・ローレンツ理論から結晶化したものである。したがって、電磁気学の理論を支持する経験上の事実は、すべて相対性理論を支持することになる。特に重要なことは、相対性理論によって恒星から届く光に生じる効果を予測することができることである。この結果は非常に簡単な方法で得られ、恒星に対する地球の相対運動による影響は、経験と一致することがわかった。ここでいう恒星の見かけ上の位置とは、地球が太陽の周りを運動することによって生じる年周運動(収差)と、恒星の地球に対する相対運動の半径方向の成分( )が、恒星から届く光の色に影響を及ぼすというものである。後者の効果は、恒星から私たちに届く光のスペクトル線が、地上の光源によって作られたときの同じスペクトル線の位置と比較して、わずかにずれることで現れる(ドップラー原理)。マックスウェル・ローレンツ理論を支持する実験的論拠は、同時に相対性理論を支持する論拠でもあり、ここで紹介するには多すぎるほどである。実際、マクスウェルとローレンツの理論以外には、経験によって検証されたとき、理論的可能性を保持することができないほど、理論的可能性を制限しているのである。
しかし、これまで得られた実験事実のうち、マックスウェル・ローレンツ理論で表現できるものは、それ自体、つまり相対性理論を用いない限りは、余計な仮説の導入によってのみ表現できる2つのクラスである。 放射性物質から放出される陰極線やβ線と呼ばれる光は、負の電気を帯びた粒子(電子)で構成されており、慣性力が非常に小さく、速度が速いことが知られている。電場や磁場の影響によるこれらの線の偏向を調べることで、これらの粒子の運動法則を非常に正確に研究することができる。
このような電子を理論的に扱う場合、電気力学的な理論だけでは、その性質を説明できないという困難に直面する。なぜなら、ある符号の電気質量は互いに反発し合うので、電子を構成する負の電気質量は、その相互反発の影響を受けて、必然的に散乱することになる。ただし、それらの間に別の種類の力が作用しているのでなければ、その性質はこれまで不明であった。[15]ここで、電子を構成する電気的質量の間の相対的距離が、電子の運動の間、変化しないと仮定すると(古典力学の意味での剛体結合)、経験とは一致しない電子の運動法則に行き着くことになる。H. A. ローレンツは、純粋に形式的な観点から、電子の形は運動の結果、運動方向に収縮するという仮説を最初に導入した。収縮した長さは、式 に比例する。この仮説は、いかなる電気力学的事実によっても正当化されないが、近年非常に正確に確認されている運動の特殊な法則を我々に提供している。
相対性理論は、電子の構造や振る舞いについて何ら特別な仮説を必要とせずに、同じ運動法則を導き出す。私たちは、フィゾーの実験に関連して、同様の結論に達した。 第13節 その結果は、相対性理論によって予言されており、液体の物理的性質に関する仮説を立てる必要はない。
第二の事実は、宇宙における地球の運動が、地上での実験によって知覚できるかどうかという問題に関連している。私たちはすでに 第5節においてこの種の試みはすべて否定的な結果に帰結したことは、すでに述べたとおりである。相対性理論が提唱されるまでは、この否定的な結果を受け入れることは困難であったが、その理由はこれから述べる。時間と空間に関する先天的な偏見が、ある参照体から別の参照体への変換におけるガリレオ変換の重要性を疑うことを許さなかったのである。しかし，そのようなことはない。ここで，マックスウェル・ローレンツ方程式が参照体 に対して成り立つと仮定すると， に対して一様に動く参照体 については，ガリレオ変換の関係が と の座標の間に存在すると仮定すると，それが成立しないことが分かる。したがって，すべてのガリレオ座標系 の中から，特定の運動状態に対応する1つ( )が物理的に一意に決まるようである。この結果は、 を仮想的な空間のエーテルに対して静止していると見なすことで、物理的に解釈された。一方、 に対して相対的に移動するすべての座標系 は、æther に対して運動しているとみなされた。このエーテルに対する の運動( に対する「エーテル-ドリフト」)には、 に対して成り立つと考えられていたより複雑な法則が帰結する。厳密に言えば、このようなエーテル-ドリフトは地球に対しても想定されるべきで、長い間、物理学者たちは地球の表面でエーテル-ドリフトの存在を検出しようとする試みに没頭していたのだ。
このような試みの中で、最も注目すべきは、マイケルソンが考案した、決定的と思われる方法である。2枚の鏡が剛体上に配置され、その反射面が互いに向かい合っているとする。一本の光線が一方の鏡から他方の鏡へと往復するには、システム全体がエーテルに対して静止している場合、完全に明確な時間( )を必要とする。しかし、計算によって、もし体が鏡とともにエーテルに対して相対的に動いているならば、このプロセスにはわずかに異なる時間( )が必要であることがわかった。さらにもう一点、エーテルに対して与えられた速度 に対して、この時間 は、体が鏡の平面に対して垂直に動いているときと、これらの平面に平行に動いているときとでは が異なることが計算によって示されている。この2つの時間の差は非常に小さいと推定されるが、マイケルソンとモーリーはこの差が明らかに検出できるはずの干渉実験を行った。しかし、この実験が否定的な結果を示したことは、物理学者にとって非常に不可解なことであった。ローレンツとフィッツジェラルドは、エーテルに対する物体の運動が、物体の運動方向の収縮を生じさせ、その収縮量が上記の時間の差をちょうど埋め合わせるのに十分であるとして、この困難から理論を救い出したのである。の議論と比較すると 第11節の議論と比較すると、相対性理論の立場からも、この難問の解決は正しいものであったことがわかる。しかし、相対性理論に基づくと、この解釈の方法は比較にならないほど満足のいくものである。この理論によれば、æther-ideaを導入するための「特別に有利な」(ユニークな)座標系というものは存在せず、したがってæther-driftも、それを実証するための実験も存在し得ないのである。ここで、移動体の収縮は、特定の仮説を導入することなく、理論の2つの基本原理から導かれる。この収縮に関わる 主要な要因として、我々は、いかなる意味も付与できない運動それ自体ではなく、特定のケースで選択した参照体に対する運動を見出す。このように、地球と一緒に動いている座標系では、マイケルソンとモーリーのミラーシステムは短縮されないが、太陽に対して相対的に静止している座標系では短縮されるのである。
第17節 ミンコフスキーの四次元空間
[編集]数学者でない人が「四次元」と聞くと、不思議な戦慄を覚え、オカルト的な思考に目覚めるのと同じような感覚に襲われるのである。しかし、私たちの住む世界は4次元の時空連続体である、ということほど当たり前の言葉はない。
空間は3次元の連続体である。このことは，ある点(静止している)の位置を3つの数(座標) ， ， によって記述することが可能であることを意味し，この点の近傍には不定数の点があり，それらの位置は ， ， といった座標で記述することができる。これらは，最初の点の座標 ， ， のそれぞれの値に限りなく近い値であることができる。後者の性質により，我々は「連続体」と呼び，3つの座標があるという事実により，「三次元」と呼ぶ．
同様に、ミンコフスキー が短く「世界」と呼んだ物理現象の世界は、当然、時空間的な意味で4次元である。それは個々の事象から構成され，その各々は4つの数，すなわち3つの空間座標 , , , および時間座標である時間値 によって記述されるからである。 この意味で，「世界」は連続体でもある。なぜなら，すべての事象には，私たちが選ぼうとする数だけ「隣接する」事象(実現されているか，少なくとも考えられる)があり，その座標は，もともと考えていた事象 , , , の座標とは無限に小さい量だけ異なっているのだから．このような意味で世界を4次元の連続体と見なすことに慣れていないのは、相対性理論が登場する以前の物理学において、時間は空間座標とは異なる、より独立した役割を担っていたためである。そのため、私たちは時間を独立した連続体として扱う習慣があった。実は、古典力学によれば、時間は絶対的なものであり、座標系の位置や運動状態とは無関係である。このことは、ガリレオ変換の最後の式( )で表現されているのがわかる。
相対性理論によれば、時間はその独立性を奪われるため、「世界」の4次元的な考察は自然なことである。このことは、ローレンツ変換の第4式で示されている。
さらに、この式によると、 を基準とした2つの事象の時間差 は、 を基準とした同じ事象の時間差 が消失する場合でも、一般に消失することはない。 しかし，相対性理論の正式な発展にとって重要なミンコフスキーの発見は，ここにあるのではない。相対性理論の4次元時空連続体は、その最も本質的な形式的性質において、ユークリッド幾何学的空間の3次元連続体と顕著な関係を示すことを彼が認識したことに、むしろ見出されるのである。[16]しかし、この関係を顕著にするためには、通常の時間座標 を、それに比例する虚数倍率 で置き換える必要がある。このような条件の下で、(特殊)相対性理論の要求を満たす自然法則は、時間座標が3つの空間座標と全く同じ役割を果たす数学的形式をとる。この4つの座標は、形式的にはユークリッド幾何学の3つの空間座標に 正確に対応する。このように純粋に形式的な知識が加わった結果、理論が少なからず明確になったことは、数学者でない人にとっても明らかであろう。
このような不十分な記述では、ミンコフスキーが貢献した重要な考えについて、読者に漠然とした印象を与えるだけである。ミンコフスキーがいなければ、次のページで基本的な考えを述べる一般相対性理論は、おそらくその長い衣服から先には進まなかったであろう。ミンコフスキーの仕事は、数学の経験の浅い人にはとっつきにくいだろうが、特殊相対性理論や一般相対性理論の基本的な考え方を理解するためには、この仕事をあまり正確に把握する必要はないので、今のところここに置いておき、第2部の終わりで再び取り上げることにする。
脚注
[編集]- ↑ ということで、自然物も直線と結びつきます。したがって、剛体上の3点A、B、Cは、点AとCが与えられたとき、直線上にあり、Bは距離ABとBCの和ができるだけ短くなるように選ばれる。この不完全な提案で十分である
- ↑ ここでは、余分なものがないこと、つまり測定が整数になることを前提としています。この困難は、分割された測定棒の使用によって克服される。分割された測定棒の導入は、根本的に新しい方法を要求するものではない
- ↑ 原文で言及されている「Potsdamer Platz, Berlin」よりも、英語の読者に馴染みやすいので、これを選んだ。(R. W. L.)
- ↑ ここで、"空間における一致 "という表現の意味について、さらに検討する必要はないだろう。この概念は十分に明白であり、実際に適用できるかどうかに関して意見の相違が生じる可能性はほとんどない
- ↑ これらの見解の洗練と修正は、本書の第二部で扱う一般相対性理論を扱うまで必要ない
- ↑ つまり、身体が移動する曲線である
- ↑ さらに、3つの事象と同時 と同時(上記の定義の意味での同時)というように異なる場所で発生するとき、一対の事象 、 の同時性の基準も満たされると仮定する。この仮定は光の伝播に関する物理的な仮説である。もし我々が真空中での光の速度が一定であるという法則を維持しようとするならば、それは確実に満たされねばならない。
- ↑ 堤防から判断した場合
- ↑ 例：1台目と100台目の真ん中
- ↑ さらに、3つの事象 、と同時 と同時(上記の定義の意味での同時)というように異なる場所で発生するとき、一対の事象 、 の同時性の基準も満たされると仮定する。この仮定は光の伝播に関する物理的な仮説である。もし我々が真空中での光の速度が一定であるという法則を維持しようとするならば、それは確実に満たされねばならない。
- ↑ ローレンツ変換の簡単な導出を付録 I に示す
- ↑ Fizeau は 、ここで は液体の屈折率であることを発見した。一方、 が 1 に比べて小さいため、そもそも(B)を 、または同じ近似オーダーで で置き換えることができ、フィゾーの結果と一致する
- ↑ これは、身体と一緒に動く座標系から判断した、取り込まれたエネルギーである
- ↑ 本体と一緒に移動する座標系から判断した場合
- ↑ 一般相対性理論により、電子の電気的質量は重力によって保持されている可能性が高い
- ↑ 付録 II のやや詳細な議論を参照