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（十一）

乘法及除法

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$a'b'>\gamma >ab$

$ab$ に上限あり，之を $\gamma _{1}$ と名づく，$a'b'$ に下限あり，之を $\gamma _{2}$ と名づく．しかするときは

$\gamma _{2}\geqq \gamma \geqq \gamma _{1}$

さて $\gamma _{2}>\gamma _{1}$ なることを得ず．假に $\gamma _{2}>\gamma _{1}$ なりとせば $\gamma _{2}>c_{2}>c_{1}>\gamma _{1}$ なる如き有理數 $c_{1}$，$c_{2}$ の存在を認めざるを得ず，是故に $\gamma _{2}>\gamma _{1}$ を如何やうに選むとも常に $a'b'-ab$ が一定の數 $(c_{2}-c_{1})$ より大なりと主張するに異ならず．斯の如き主張は次の如くにして之を轉覆すべし．先づ $\alpha$ よりも又 $\beta$ よりも大なる一個の自然數 $g$ を任意に定め，又別に $\varepsilon$ なる數を與ふるに

$a'-a<{\frac {\varepsilon }{2g}},\quad b'-b<{\frac {\varepsilon }{2g}}$

なる如く，同時に又 $g>a'$，$g>b'$ なる如く，$a$，$a'$，$b$，$b'$ を採ることを得べし，さて