なる記法を用ゐ,又
につきて r k ¯ {\displaystyle {\overline {r_{k}}}} , m k ¯ {\displaystyle {\overline {m_{k}}}} , r k ′ ¯ {\displaystyle {\overline {r'_{k}}}} を同樣の意義に用ゐるとき,直に最一般なる場合を論ぜんが爲に α {\displaystyle \alpha } , α ¯ {\displaystyle {\overline {\alpha }}} の展開は其起首若干項に於ては全く符合し, 1 t k {\displaystyle {\frac {1}{t^{k}}}} の位に至て始めて相異なる係數を有せりとし,例へば c k > c k ¯ {\displaystyle c_{k}>{\overline {c_{k}}}} となす.しかするときは
さて α ¯ {\displaystyle {\overline {\alpha }}} は r 0 ′ ¯ , r 1 ′ ¯ … r k ′ ¯ … {\displaystyle {\overline {r'_{0}}},{\overline {r'_{1}}}\ldots {\overline {r'_{k}}}\ldots } の下限なり,是故に r k ≧ r k ′ ¯ {\displaystyle r_{k}\geqq {\overline {r'_{k}}}} より
を得.又一方に於て α {\displaystyle \alpha } は r 0 , r 1 … r k … {\displaystyle r_{0},r_{1}\ldots r_{k}\ldots } の上限なり,隨て
(1),(2) より一般に
を得.只 (1),(2) に於て同時に等號を採るべきときに限り α = α ¯ {\displaystyle \alpha ={\overline {\alpha }}} なり.此場合には α = α ′ = r k {\displaystyle \alpha =\alpha '=r_{k}} にして α {\displaystyle \alpha } 卽ち α ′ {\displaystyle \alpha '} は有理數なり.是卽ち笫六章(九)に說きたる特