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五

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分數

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$\alpha :\beta =\gamma :\delta$

なるときは又

$\alpha \delta =\beta \gamma$

にして，且此二つは同一の關係なり．げにも先づ $\alpha :\beta =\gamma :\delta$ なるとき此相等しき二つの比の値を $\xi$ と名づくれば $\alpha =\beta \xi$，$\gamma =\delta \xi$ よりて $\alpha (\delta \xi )=(\beta \xi )\gamma$ 乘法の組み合はせの法則により $\alpha \delta \cdot \xi =\beta \gamma \cdot \xi$ 隨て $\alpha \delta =\beta \gamma$．又逆に $\alpha \delta =\beta \gamma$ なるときは $\alpha :\beta$ の値を $\xi$ と名づけ，$\alpha =\beta \xi$ を得，隨て順次 $\beta \xi \delta =\beta \gamma$，$\xi \delta =\gamma$，$\gamma :\delta =\xi$ を經て $\alpha :\beta =\gamma :\delta$ に達す．是故に

${\begin{aligned}&\alpha :\beta =\gamma :\delta \\&\alpha :\gamma =\beta :\delta \\&\beta :\alpha =\delta :\gamma \end{aligned}}$

は必ず相隨伴す．

比の兩項に $0$ と異なる同一の數を乘ずるも，比の値變することなし，卽ち $\alpha :\beta =\alpha \gamma :\beta \gamma$ げにも $\alpha (\beta \gamma )=\beta (\alpha \gamma )$