Page:Shinshiki Sanjutsu Kogi 00.djvu/167

151

（三）

分數の總括と數の新系統

---

$\alpha$，$\beta$ が二つの分數なるとき $\alpha +\beta =\beta +\alpha$ なるを證せんことを要す．$\alpha$，$\beta$ を公分母に直して $\alpha ={\frac {a}{m}}$，$\beta ={\frac {b}{m}}$ と置けば

$\alpha +\beta ={\frac {a+b}{m}},\quad \beta +\alpha ={\frac {b+a}{m}}$

を得，整數 $a$，$b$ の加法には交換の法則を適用し得べきが故に，$a+b=b+a$ 隨て $\alpha +\beta =\beta +\alpha$．

（三）

相等しき分數を總括して之を唯一つの數となし，卽ち分數の値に着目して分數の形式の異同を度外に置き，さて凡ての分數を打して一團となし，新に數の一系統を組織するときは，此範圍內に於て，二つの異なる（値の異なる）數の中唯一つが他の一よりも大にして，且大小なる語の意義は，よく自然數の場合に於て第一章（二）にいへるが如き條件に遵へり．又二つの數は必ず一定の和を有し，減法は凡ての場合に可能にして恆に一定の結果を與へ，且加法，減法は