初等整数論講義/第1章/Eulerの函数φ(n)

1.自然數 $1, 2, ......, n$ ノ中ニ $n$ ト互ニ素ナル數 $x$ ガイクツアルカ． ソノ數ヲ $\phi(n)$ デ表ハスノデアル．

例ヘバ，

$\begin{align} \phi(1)=1&, (x=1)\\ \phi(2)=1&, (x=1)\\ \phi(3)=2&, (x=1, 2)\\ \phi(4)=2&, (x=1, 3)\\ \phi(5)=4&, (x=1, 2, 3, 4)\\ \phi(6)=2&, (x=1, 5)\\ .......&........... \end{align}$

コノヤウニ變數ガ整數値ヲ取ルトキニノミ意味ヲ有スル函數ヲ整數論的函數トイフ．特ニ上記ノ$\phi(n)$ヲオイラアノ函數トイフ．

サテ$p$ガ素數ナラバ，

(1)

$\phi(p)=p-1$

ナルコト明デアル。又

(2)

$\phi(p^e)=p^e-p^{e-1}$

デアル．ナゼナラバ，$1$カラ$p^e$マデノ整數ノ中デ，$p^e$ト互ニ素デナイモノハ，即チ$p$デ割リ切レルモノデ，ソレハ

$1\cdot p, 2 \cdot p, ......, p^{e-1} \cdot p$

ノ$p^{e-1}$個ダケデアルカラ．

一般ニ$\phi(n)$ハ次ノヤウニシテ計算スルコトガデキル．

定理 1.18．

$n$ ヲ素數冪ニ分解シテ

$n=p^\alpha q^\beta r^\gamma ......$

トスレバ，

$\phi(n)=n(1- \frac{1}{p})(1 - \frac{1}{q})(1 - \frac{1}{r}) ... ...$

コノ定理ハ次ノ定理カラ導カレル．

定理 1.19．

$(a, b)=1$ナラバ，$\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$．

コノ定理ガ證明サレタトスレバ，$a,b,c,... ...$ ガニツヅツ互ニ素ナルトキ

$\begin{align} \phi(abc...) &= \phi(a)\phi(bc...)=\phi(a)\phi(b)\phi(c...)=... \\ &= \phi(a)\phi(b)\phi(c)... \end{align}$

由テ

$\begin{align} \phi(n) &= \phi(p^\alpha)\phi(p^\beta)\phi(p^\gamma)...... \\ &= (p^\alpha - p^{\alpha - 1})(p^\beta - p^{\beta - 1})(p^\gamma - p^{\gamma - 1})...... ((2) kara) \\ &= p^\alpha p^\beta p^\gamma ......(1- \frac{1}{p})(1 - \frac{1}{q})(1 - \frac{1}{r})...... \\ &= n(1- \frac{1}{p})(1 - \frac{1}{q})(1 - \frac{1}{r})...... \end{align}$

即チ定理1.18デアル．

2. サテ定理1.19ノ證明デアルガ， ...

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