初等整数論講義

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『初等整数論講義』
作者：高木貞治

初等整数論

• 整数の整除
• 最大公約数，最小公倍数
• 一次の不定方程式
• 素数
• 附記 素数の分布
• 合同式
• 一次合同式
• 合同式解法の概論
• Eulerの函数$\varphi(n)$
• 1の$n$乗根
• Fermatの定理
• 原始根，指数
• 平方剰余，Legendreの記号
• 平方剰余の相互法則
• Jacobiの記号

附記

• 多項式の合同
• 円周等分方程式の既約性
• 1の$p$乗根，特に17乗根
• 任意の法に関する指数，指標

連分数

• 連分数
• 実数の連分数展開
• 中間近似分数
• 近似分数の特徴
• 一次形式 $\omega x - y$の最小値
• 格子
• Dirichletの証明法
• Minkowskiの定理
• 方程式の実根の計算に連分数を応用すること
• 「モジュラル」変形
• 対等な数の連分数展開
• 複素数の対等

二元二次不定方程式

• 二次無理数の対等
• 二次無理数の連分数展開
• 二次無理数の自己変形，Pell方程式
• 二元二次不定方程式，$ax^2 + bxy + cy^2 = k$
• 二次不定方程式の解法(Gaussの方法)

二次体 $\mathit{K}(i)$, $\mathit{K}(\sqrt{-3})$ の整数

• 複素整数 $a + bi$
• $x^2 + y^2 = a$ の解
• Fermatの問題， $x^4 + y^4 = z^4$ の不可能
• 二次体 $\mathit{K}(\sqrt{-3})$ の整数
• Fermatの問題， $x^3 + y^3 = z^3$ の不可能

二次体の整数論

• 二次体 $\mathit{K}(\sqrt{m})$ の整数
• 二次体のイデヤル
• イデヤルの素因子分解
• 二次体における素のイデヤル
• イデヤルの類別
• イデヤルを法とする合同式
• 二次体の単数
• Pell方程式 $x^2 - ay^2 = \pm 1$
• 二次不定方程式 $ax^2 + bxy + cy^2 = k$ の理論

附録

• イデヤルの類別(広義と狭義)
• 両面イデヤル，両面類
• イデヤルの種とノルム剰余
• 平方剰余の相互法則の証明
• イデヤルの類の数hの計算
• 算術級数中の素数
• Gaussの和