代数的整数論/第2章/「イデヤル」論の基本定理

任意の「イデヤル」 $\mathfrak{a}$ に関して， $\mathfrak{oa}=1\cdot\mathfrak{a}=\mathfrak{a}$ だから， $\mathfrak{o}$ と $\mathfrak{a}$ とは勿論 $\mathfrak{a}$ の約数である．それら無興味なる約数以外の約数を，真の約数という．

真の約数を有しない「イデヤル」を素（prime）なる「イデヤル」という．（但 $\mathfrak{o}$ を除く．）

即ち「イデヤル」 $\mathfrak{p}$ が素であるとは， $\mathfrak{p}, \mathfrak{o}$ の中間に $\mathfrak{p}\subset\mathfrak{j}\subset\mathfrak{o}, \mathfrak{j}\ne\mathfrak{p}, \mathfrak{j}\ne\mathfrak{o}$ なる $\mathfrak{j}$ が存在しないことである．

$\mathfrak{o}$ 以外の「イデヤル」が一意的に素因子に分解されることが，「イデヤル」論の基本定理である．今それを二段に分けて証明する．

定理 1　与えられたる「イデヤル」の因子の数は有限である．

〔証〕　「イデヤル」 $\mathfrak{a}$ に含まれる一つの正の有理整数を $a$ とすれば， $\mathfrak{a}$ の因子は $a$ を含まねばならないから， $a$ を含む「イデヤル」が有限個に限ることを示せば十分である．

さて体 $k$ の整数の底を $\omega_1, \ldots, \omega_n$ とし，

$\mathfrak{a}=(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r)\qquad (r\leqq n)$

に於て

$\alpha_i=a_{i1}\omega_1+a_{i2}\omega_2+\cdots +a_{in}\omega_n$

とする． $a$ を $\mathfrak{a}$ に含まれる正の有理整数として $a_{ij}=q_{ij}a+a_{ij}^0, 0\leqq a_{ij}^0<a$ とし

$a_i^0=a_i-a\sum_jq_{ij}\omega_j=a_{i1}^0\omega_1+a_{i2}^0\omega_2+\cdots +a_{in}^0\omega_n$

と置けば

$\begin{array}{lll} \mathfrak{a}&=&(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r)\\ &=&(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r, a)\\ &=&(\alpha_1^0, \alpha_2^0, \ldots, \alpha_r^0, a). \end{array}$

$a_{ij}^0=0, 1, \ldots, a-1$ だから， $\alpha_{i}^0$ のような数は有限個に限る，故に $a$ を含む「イデヤル」も有限個に限る．(証終)

$\mathfrak{a}$ に始まり， $\mathfrak{o}$ に終る因子の連鎖

(1)

$\mathfrak{a}\subset\mathfrak{a}_1\subset\mathfrak{a}_2\subset\cdots\subset\mathfrak{a}_r\subset\mathfrak{o}$

を組成する項 $\mathfrak{a}_i$ は有限個である．ここでは勿論 $\subset$ は $=$ を除外して言う．即ち与えられたる「イデヤル」を次々に拡張して広範囲の「イデヤル」を作って行けば，有限回にして極大範囲 $\mathfrak{o}$ に到達する．これを「イデヤル」因子の連鎖律という．

約数の数が有限だから，上記のような連鎖を最も密にして，相接する二つの「イデヤル」の中間に他の「イデヤル」を容れ得なくすることが出来る．例えば（1）が既に最密であるとする．然らば， $\mathfrak{a}=\mathfrak{p}_1\mathfrak{a}_1$ とするとき， $\mathfrak{p}_1$ は素である．何故ならば，若しも $\mathfrak{p}_1=\mathfrak{b}\mathfrak{c}, \mathfrak{b}\ne\mathfrak{o}, \mathfrak{c}\ne\mathfrak{o}$ ならば， $\mathfrak{a}\subset\mathfrak{ba}_1\subset\mathfrak{a}_1$ で，それは仮定に反する． $\mathfrak{a}_1=\mathfrak{p}_2\mathfrak{a}_2, \ldots$ も同様で， $\mathfrak{a}_r$ も素である．それを $\mathfrak{p}_r$ と書けば，

$\mathfrak{a}=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\cdots\mathfrak{p}_r$

で， $\mathfrak{a}$ は素因子に分解される．

定理 2　 $\mathfrak{p}$ が素で， $\mathfrak{ab}\subset\mathfrak{p}$ ならば， $\mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}$ または $\mathfrak{b}\subset\mathfrak{p}$ ．

〔証〕　 $\mathfrak{a}$ と $\mathfrak{p}$ との公因子は， $\mathfrak{p}$ の因子だから， $\mathfrak{p}$ または $\mathfrak{o}$ である．さて $(\mathfrak{a}, \mathfrak{p})=\mathfrak{p}$ ならば， $\mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}$ ．又 $(\mathfrak{a}, \mathfrak{p})=\mathfrak{o}$ ならば， $\alpha\in\mathfrak{a}, \pi\in\mathfrak{p}$ で $\alpha +\pi =1$ なる $\alpha, \pi$ がある(§2.6)．今 $\beta$ を $\mathfrak{b}$ の任意の数とする．然らば， $\alpha\beta +\pi\beta =\beta$ で， $\alpha\beta\in\mathfrak{p}, \pi\beta\in\mathfrak{p}$ だから $\beta\in\mathfrak{p}$ ，故に $\mathfrak{b}\subset\mathfrak{p}$ (証終)

三つ以上の因子の積に関しても同様である． $\mathfrak{abc}\subset\mathfrak{p}$ ならば， $\mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}$ 又は $\mathfrak{bc}\subset\mathfrak{p}$ ，従って $\mathfrak{b}\subset\mathfrak{p}$ 又は $\mathfrak{c}\subset\mathfrak{p}$ ，等々．

真の約数を有しないことの外に，上の定理に示されたように，積を割り切るとき必ず一つの因子を割り切ることが，素なる「イデヤル」の重要なる性質である．この定理に基づいて「イデヤル」論の基本定理が証明される．

定理 3　 $\mathfrak{o}$ 以外の「イデヤル」は一意的に素因子の積に分解される．

〔証〕　 $\mathfrak{a}=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\cdots\mathfrak{p}_r=\mathfrak{q}_1\mathfrak{q}_2\cdots\mathfrak{q}_s$ を $\mathfrak{a}$ の素因子への分解とすれば， $r=s$ で， $\mathfrak{q}_1, \mathfrak{q}_2, \ldots, \mathfrak{q}_s$ は順序を別にして $\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2, \ldots, \mathfrak{p}_s$ にそれぞれ等しいことを証明するのであるが， $\mathfrak{a}$ が素なるとき（ $r=1$ ）には論はないから， $r$ に関して帰納法を使う．

$\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\cdots\mathfrak{p}_r\subset\mathfrak{q}_1$ だから $\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\cdots\mathfrak{p}_r$ の中少くとも一つは $\mathfrak{q}_1$ で割り切れる（定理2）．今 $\mathfrak{p}_1\subset\mathfrak{q}_1$ とすれば， $\mathfrak{p}_1$ は素で， $\mathfrak{q}_1\ne\mathfrak{o}$ だから， $\mathfrak{p}_1=\mathfrak{q}_1$ ，従って $\mathfrak{p}_2\cdots\mathfrak{p}_r=\mathfrak{q}_2\cdots\mathfrak{q}_s$ ，故に問題は $r-1$ 個の因子の場合に帰する．(証終)

〔注意〕素因子の中の相等しいものを集めて巾の形に書けば，相異なる素因子巾への分解を得る．それも一意的である．与えられたる「イデヤル」 $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{c}, \ldots$ をこのように素因子巾に分解すれば，それを用いて有理整数の場合と同様に， $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{c}, \ldots$ の最大公因子又は最小公倍数が求められる．

問題　 $(\mathfrak{a}, \mathfrak{b})=\mathfrak{o}, \mathfrak{ai}\subset\mathfrak{b}$ ならば $\mathfrak{i}\subset\mathfrak{b}$ ．

次の定理はしばしば引用される．

定理 4　 $\mathfrak{a}, \mathfrak{m}$ を与えられたる「イデヤル」とすれば，次の性質を有する $\alpha$ なる数がある：

$\alpha =\mathfrak{ab}, \qquad(\mathfrak{b}, \mathfrak{m})=\mathfrak{o}$ ．

〔証〕　 $\mathfrak{m}$ に含まれる相異なる素因子を $\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2, \ldots, \mathfrak{p}_r$ とすれば，条件を言い換えて， $\mathfrak{a}$ では割れるが $\mathfrak{ap}_i (i=1, 2, \ldots, r)$ では割れないような $\alpha$ の存在を示せばよい．

その為に $\mathfrak{j}=\mathfrak{ap}_1\mathfrak{p}_2\cdots\mathfrak{p}_r, \mathfrak{j}_i=\mathfrak{j}/\mathfrak{p}_i$ と置く．さて $\mathfrak{j}\subset\mathfrak{j}_i$ だから $\mathfrak{j}_i$ に含まれて $\mathfrak{j}$ には含まれない数がある．それを $\alpha_i$ とすれば $\alpha_i$ は $\mathfrak{j}_i$ で割れるが $\mathfrak{j}$ では割れない．よって

$\alpha =\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_r$

は吾々の求める数である．先ず $\alpha_i\subset\mathfrak{j}_i\subset\mathfrak{a}$ だから $\alpha\subset\mathfrak{a}$ ．

次に $i>1$ ならば $\alpha_i\subset\mathfrak{j}_i\subset\mathfrak{ap}_1$ だが， $\alpha_1$ は $\mathfrak{j}_1=\mathfrak{ap}_2\cdots\mathfrak{p}_r$ では割れて $\mathfrak{j}=\mathfrak{ap}_1\mathfrak{p}_2\cdots\mathfrak{p}_r$ では割れないから， $\alpha_1$ だけは $\mathfrak{ap}_1$ で割れない．故に $\alpha$ は $\mathfrak{ap}_1$ で割れない．同様に $\mathfrak{ap}_2, \ldots, \mathfrak{ap}_r$ で割れない．(証終)