代数的整数論

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序

目次

前篇　一般論 [編集]

第1章　代数的整数 [編集]

第2章　代数体の整数「イデヤル」 [編集]

本章では，与えられたる一つの代数体の内に於て，整除の関係を論ずる．その体をkと名付け，それをn次とする．文字k, nにはこの意味を留保する．

大体は「ギリシヤ」字\alpha , \beta , \xi , \omegaなどでkに属する数，特に整数を表わし，「ロオマ」字a, b, x, yなどでは有理数，特に有理整数を表わすことにする．一々断わらないこともあろう．尤も例外の場合もある．

第3章　剰余類 [編集]

第4章　「イデヤル」の類別 [編集]

第5章　「ミンコフスキ」の定理の応用 [編集]

第6章　相対的の体 [編集]

第7章　判別式 共軛差積 [編集]

吾々は今代数的整数論に於て解説の最も難渋なる一章に入る．問題は古くて，しかも基本的であるのに，整理が不行届で，心持がよくないのである．

第8章　「ガロワ」体 [編集]

第9章　単数 [編集]

第10章　素数進法 (p 進法) [編集]

後篇　類体論 [編集]

代数的整数論に於て，一般論以上，現今相当に整理されているのは，相対的「アアベル」体論であって，それは Gauss，Kummer，Kronecker，H.Weber，Hilbert 等の整数論に関する主要なる業蹟を包括する．目今流布の通称に従って，類体論の名目の下に，本書の後篇として，その要項を述べる．引用する文献の中，重なるものを次に掲げる．

（1）Takagi，Ueber eine Theorie des relativ-Abel'schen Zahlkörpers (1920)．東京帝大，理学部紀要，41．〔略記：紀要〕

（2）Hasse，Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper，I (1926)，Ia (1927)，II (1930)，．独逸数学協会年報．〔略記：報文〕

（3）Artin，類体論講演，Göttingen 大学に於て (1932)．謄写版．〔略記：講演〕

（4）Hasse，類体論講義，Marburg 大学に於て (1932-33)．謄写版．〔略記：講義〕

（5）Chevalley，Sur la theorie du corps de classes dans les corps finis et les corps locaux，東京帝大，理学部紀要，2 (1933)．〔略記：紀要〕

本書では，著者の旧稿（1）の思潮を主調として，（3），（4），（5）によって，それを簡易化して述べる．

第11章　合同類別 [編集]

第12章　解析的の考察 [編集]

第13章　基本定理 [編集]

第14章　分解定理 同型定理 相互律 [編集]

第15章　存在定理 導手定理 [編集]

第16章　集結定理 [編集]

前章までで，「アアベル」体の基礎論は一段落に達したと言うてもよかろうと思われる．本章では§12.4の立場に返って，k上の一般体\Omega /kの中に於ける「アアベル」体の特質を述べて，現今の類体論の限界を考察する．

附録 [編集]

（1）　二次体論 [編集]

Gaussの二次形式論は現代的に言えば（絶対）二次体論で，それが類体論の芽生であった．今類体論の最も簡単なる一例としてその要点を述べる[* 1]．

（2）　円分体の類数 [編集]

§12.2に述べたように，代数体kの「イデヤル」類の数hは Dedekind の函数\zeta_k(s)の極s=1に於ける留数から求められるが，kが円分体なるとき，類数hが有限なる形に計算されている．このhの計算式は古典整数論の最高成成績の一つであって，多分に整数論的の興味を具え，現今では Fermat の問題に関係してしばしば引用されるものである．

円分体の類数hの計算は，「イデヤル」論の発生以前に，実質的に既に Kummer が遂行したのであるが，現今手近な文献で，それを詳しく述べているのは Dedekind の「ヂリクレ」整数論講義，附録XIであろう．Dedekind の叙述は勿論立派なものだけれども，表現がやや古風になっているから，記号だけでも変更して，現代的に読み易く述べて見たいと思うのであるが，計算法の要点を鮮明にするために，Dedekind と同様に円の素数（l）分体のみを考察する．

〔注意〕 本章では一般的にlを有理素数とする．特別に断らなければl\ne 2

（3）　「イデヤル」論の基本定理 [編集]

本書第2章に述べた「イデヤル」論は Dedekind の創意に出たもので，それは彼が編輯した Dirichlet の整数論講義第二版の附録として発表せられ，その後第三版及び第四版に於て，改良，拡充されたのであった．

Kronecker は同時代に，全く異なる方法によって，代数的整数論の基礎を確立した．その方法は有名なる論文，一般代数的数の整数論綱要[* 2]に述べてある．今簡易化された形に於て，その大要を次に説明する．


  1. ↑ 二次体論だけを直接の叙述は長たらしくなる．例えば，著者の旧著，初等整数論講義，参照．
  2. ↑ Kronecker，Grundzüge einer arithmetischen Theorie der allgemeinen algebraischen Grösse，1882，Werke，2．
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