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（五）

分數の乘法及除法

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${\begin{aligned}\beta (\gamma \pm \gamma ')&={\frac {b'}{b}}{\frac {c'\pm c''}{c}}={\frac {b'(c'\pm c'')}{bc}}\\&={\frac {b'c'\pm b'c''}{bc}}={\frac {b'c'}{bc}}\pm {\frac {b'c''}{bc}}\\&=\beta \gamma \pm \beta \gamma '\end{aligned}}$

こゝに $\gamma '$ の分母を $\gamma$ の分母と同一となせるは，此法則の汎通を妨ぐるものにあらざるや明白なり．

乘法に於て因子の形式の異同は積に影響することなし，卽ち $\beta =\beta '$，$\gamma =\gamma '$ ならば必ず $\beta \gamma =\beta '\gamma '$ なるべし．こは比の兩項を夫々之に等しき數を以て置き換ふるも比の値變することなしといへる事實の當然の結果なり．是故に $\beta =\gamma$ より $\beta \alpha =\gamma \alpha$ を得．然れども又逆に $\beta \alpha =\gamma \alpha$ なるときは必ず $\beta =\gamma$ なりといふことを得べし，げにも $\beta \alpha :\alpha =\beta$，$\gamma \alpha :\alpha =\gamma$ にして $\beta \alpha =\gamma \alpha$ は $\beta =\gamma$ に隨伴せざるを得ず．$\alpha$ の $0$ なる場合は例外なるを忘るゝことなかれ．

比例式の外項の積と內項の積とは相等し，卽ち