Solutions de plusieurs problêmes de géométrie et de mécanique

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Solutions de plusieurs problêmes de géométrie et de mécanique (p. 271-274).

Problêmes de Géométrie[1].


1°. Mener un cercle tangent à trois cercles donnés ?

2°. Par un point donné dans le plan d’un parallélogramme, mener avec la règle un parallèle à une droite situee dans ce plan ?

Le premier problême peut se ramener à celui-ci : Mener par un point un cercle tangent à deux cercles donnés, en diminuant ou augmentant le rayon du cercle cherché du rayon du plus petit des trois cercles, suivant qu’il doit toucher ce dernier cercle extérieurement ou intérieurement, ce qui revient à augmenter ou diminuer également les rayons des deux autres cercles d’après la nature de leur point de contact.


fig. 4, pl. 4
Je vais d’abord démontrer la proposition suivante sur laquelle se fonde la solution du problême dont il est question : Si par le point , fig. 4, pl. 4, où se coupent les tangentes extérieures communes aux cercles et , et par le point où doit passer le cercle tangent à ces deux cercles, on mène une droite , que l’on fasse passer ensuite par le point une sécante quelconque , qui vient couper les cercles et intérieurement en et  ; qu’enfin par ces deux points et et par le point on fasse passer un cercle, cette circonférence de cercle coupera en un point qui sera le même, quelle que soit la sécante .

En effet, et étant les sécantes d’un même cercle , on a :

.

Mais si l’on mène une nouvelle sécante , on a aussi (voyez la page 20 du 1er vol. de la Correspondance),

 ;
donc
.

Il est évident, d’après cette dernière équation (1), que les quatre points , , et sont placés sur une même circonférence de cercle.

Il est démontré aussi dans l’article cité, que tout cercle tangent aux cercles et , a ses deux points de contact placés sur une droite qui passe par le point , dans les deux cas où il laisse entièrement hors de sa circonférence, ou qu’il renferme à-la-fois les deux cercles et . Il suit de là et de ce que j’ai démontré plus haut, que le cercle tangent aux cercles et , et qui passe par le point , passe aussi par le point . Ainsi le problême dont il s’agit se trouve ramené à celui-ci : Par deux points et , mener un cercle qui touche le cercle ou .

Comme ce dernier problême est susceptible de deux solutions, il est bon de faire voir que celle qui correspond au cas où le cercle est touché extérieurement, appartient aussi au cercle qui, passant par le point , toucheroit extérieurement les cercles et .

Pour le démontrer, il suffit de faire voir que toit cercle passant par le point et par deux points et , où une sécante quelconque vient couper extérieurement les cercles et , passera aussi par le même point  ; car alors le cercle qui passe par le point , et qui touche extérieurement les cercles et , ayant ses points de contact dans la direction du point , passera évidemment par les points et . Or, on voit sans peine[2] que  ; donc, d’après l’équation(1),

.

Cette équation prouve que les points , , , , sont placés sur la même circonférence de cercle.

Voici maintenant comment ou achevera la solution du problême : Ayant tracé le cercle , ainsi que je l’ai dit, on menera la corde qui coupera en un point . Par ce point on menera les tangentes , , au cercle  ; et les points et de contact seront les points de tangence des cercles cherchés, dont l’un touche intérieurement, et l’autre extérieurement, le cercle . En effet, on a

 ;
or  ;
donc .

Cette dernière équation prouve évidemment que le cercle qui passeroit par les points , et , seroit touché par la droite en . On conclut aussi de la même équation, étant égal à , que le cercle , touche le cercle en .

En considérant le point , où se croisent les tangentes intérieures, communes aux cercles et , on obtiendroit, par une construction semblable, deux autres solutions du problême de mener par un point un cercle tangent à deux cercles donnés. Ou peut voir facilement, en examinant les différentes circonstances du contact, que ce dernier problême est susceptible de quatre solutions, et que par conséquent il se trouve entièrement résolu par ce que j’ai dit.

Voici une proposition analogue à celle que j’ai démontrée précédemment, et qui donne une solution simple du problême de mener une sphère tangente à quatre sphères données.

Si par la droite qui joint les sommets des trois cônes circonscrits deux à deux à trois sphères, et par un point donné, on mène un plan  ; qu’ensuite par la même droite on mène un plan qui coupe les sphères ; que pur le cercle tangent aux cercles d’intersection et par le point donné, on fasse passer la surface d’une sphère, cette surface coupera le plan suivant un cercle qui restera le même, quelle que soit la section qu’on ait faite dans les sphères. On voit aisément que la sphère qui passe par le point donné, et qui est tangente aux trois sphères dont il s’agit, devra passer aussi par ce cercle ; car cette sphère doit avoir ses points de contact placés sur un plan qui passe par la droite qui joint les trois sommets des cônes.

Solution du second problême (voyez n°. 8 du Ier volume de la Correspondance, pag. 305.)

“Par un point , fig. 5, pl. 5, donné dans le plan d’un parallélogramme , mener avec la règle une parallèle à la droite située dans ce plan.”

Prolongez les côtés et jusqu’à leur rencontre avec  ; par ces points de rencontre et par un point quelconque de la diagonale , menez les droites et qui viennent couper les deux autres côtés du parallelogramme respectivement en et en  ; menez la droite qui sera parallèle à . On achevera ensuite la solution, d’après ce qui a été dit dans le n°. 8 du premier volume de la Correspondance, où il s’agissoit de mener par un point donné une droite qui allât concourir avec deux droites données, sans employér le compas ; car la solution convient aussi au cas où les deux droites sont parallèles, comme le sont les droites et .

Il resteroit à démontrer ce qui est supposé dans cette solution, savoir, que est parallèle à . Pour cela j’observe que le triangle étant semblable au triangle , et le triangle au triangle , on a la proportion

.

De plus, les angles , , sont égaux ; donc les triangles et sont semblables, comme ayant un angle égal compris entre des côtés proportionnels, et la droite est parallèle à .  C. Q. F. D.


Sur le point brillant d’une surface de révolution.

M. Delavenne (élève admis cette année dans l’artillerie) m’a remis une note sur la détermination du point brillant d’une surface de révolution. Il propose une modification à la solution que j’ai donnée page 303 du 1er volume de la Correspondance. Il suppose qu’on ait construit sur la surface de révolution la ligne qui est le lieu des pieds des perpendiculaires à cette surface, abaissées de tous les points de la droite qui joint le point lumineux et l’œil du spectateur. Les rayons de lumière réfléchis de tous les points de cette ligne courbe étant projetés sur un des plans de projection, M. Delavenne construit une courbe tangente à ces rayons de lumière projetés ; et, par la projection de l’œil sur le même plan, il mène une tangente à cette dernière courbe : cette tangente prolongée coupe la ligne des pieds des normales en un point qui est le point brillant demandé.

Quoique cette construction ne soit pas rigoureuse, puisqu’il faut mener une tangente à une courbe du genre des caustiques par un point donné hors de cette courbe, en faisant tourner une règle autour de ce point jusqu’à ce qu’elle touche la courbe ; cependant elle est suffisante pour la pratique, parce qu’elle donne la position de la tangente et le point où cette tangente coupe une courbe connue, sans qu’on soit obligé de considérer le point où elle touche la caustique des rayons réfléchis.

Dans une seconde note, M. Delavenne détermine par une autre considération le point brillant d’une surface de révolution, dans l’hypothèse d’un point lumineux. Il conçoit par le point brillant la normale à la surface, et les rayons incident, réfléchi,

  1. Les solutions des deux problêmes suivans m’ont été communiquées par M. Poncelet, admis cette année dans le génie militaire.
    H. C.
  2. Il suffit de comparer chacun des produits , , au produit qu’on obtiendroit pour la tangente commune aux cercles et .