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附錄

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ユークリツド（Euclid）紀元前三百年．プラトーの門人．著書の最有名なるはエレメンツ（Elements）にして其中十三卷は後世に傳はれり．其幾何學に關せる部分は汎く世に知らる．第七，八，九の三卷は整數論を含む．

偶數にして素數なるは $2$ に限る．奇數の素數の中 $4k+1$，$4k-1$ なる形の二種を區別するに，兩者共に無限に存在す．$4k-1$ の如き素數（$3$，$7$，$11$，$19$ 等）の限りなく存在するを證するには

$4\cdot 3\cdot 5\cdots p-1$

なる數につきてユークリツドの證明を模傚すべし．$4k-1$ の如き形の數は因子として少くとも一個の $4k-1$ なる形の素數を含まざるを得ざるに注意すべし．

$4k+1$ の形の素數（$5$，$13$，$17$ 等）の限りなく存在することは，しかく簡單には說明し難し．第六章（十）の結果を用ゐて次の如く此事實を證明することを得．

$x^{2}+1$ なる式に於て $x$ を任意の偶數となして得べき數の素數因子は盡く $4k+1$ の形を有す．げにも今 $x$ を或偶數とし，$x^{2}+1$ の素數因子（必ず奇數）の一つを $p$ と名づくれば $x^{2}\equiv -1{\pmod {p}}$ にして第六章（十）の (1) 式に於ける $e$ は $4$ 又 $\varphi (b)$ は $p-1$ 隨て $p-1=4f$ 卽 $p=4f+1$ 例へば $x$ を $2$，$4$，$6$，$8$ となすに，$2^{2}+1=5$，$4^{2}+1=17$，$6^{2}+1=37$，$8^{2}+1=65=5\cdot 13$ さて $4k+1$ の形の素數の限りなく存在すべきを證せんに，假に斯の如き素數の數に限ありて $5,13,17,\ldots p$ に盡きたりとせば，次の如くにして矛盾の結果に陷る．$x=2\cdot 5\cdot 13\cdots p$ となして $x^{2}+1$ を作るに此數の素數因子は $4k+1$ の形をなし，而も $5,13,17,\ldots p$ 以外の數なり．

$x$ を奇數となすときは $x^{2}+1$ は $2$ を以て整除し得べく ${\frac {x^{2}+1}{2}}$ の素數因子は盡く $4k+1$ の形をなせり，例へば $3^{2}+1=2\cdot 5,5^{2}+1=2\cdot 13,7^{2}+1=2\cdot 5\cdot 5,\ldots$