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十一

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冪及對數

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平方根は一般に無限小數なるべきが故に，求むる所の者は，根の首位若干なり．小數第 $n$ 位卽ち $10^{-n}$ の位まで計算して根の値 $r_{n}$ を得たりとせば（$n$ が $0$ 又は負の整數なるとき亦同じ）

$10^{-n}>{\sqrt {a}}-r_{n}\geqq 0,\qquad r_{n}+10^{-n}>{\sqrt {a}}\geqq r_{n}$

よりて $a$ の數字を $10^{2n}$ の位まで採りて作れる整數を $A$ ，又 $r_{n}$ の數字より成れる整數を $Q$ と名づけ

${\begin{aligned}&a=(A+a')10^{-2n},\qquad 1>a'\geqq 0\\&r_{n}=Q\cdot 10^{-n}\end{aligned}}$

と置かば ${\sqrt {a}}\geqq r_{n}$ より $a\cdot 10^{2n}=A+a'\geqq Q^{2}$ さて $A$，$Q$ は自然數にして $a'$ は $1$ より小なるにより $A\geqq Q^{2}$ 又 $(r_{n}+10^{-n})^{2}>{\sqrt {a}}$ より $(Q+1)^{2}>A+a'$ 隨て前の如く $(Q+1)^{2}>A$ を得．卽ち

$(Q+1)^{2}>A\geqq Q^{2}$

$Q$ は其平方 $A$ を超えざる最大の自然數なり．卽ち $a$ の平方根を $10^{-n}$ の位まで