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（二）

有理指數の冪

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(1)

$a^{\mu }=a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$

となさゞるを得ず．又若し之を以て分數を指數とせる羃の定義となすときは，第二章（六）及第六章（二）に說きたる冪の諸性質は，廣義の冪につきても亦盡く成立す．卽ち

(2)

$a^{\mu }a^{\nu }=a^{\mu +\nu },\quad a^{\mu }:a^{\nu }=a^{\mu -\nu }$

(3)

$(a^{\mu })^{\nu }=a^{\mu \nu }$

(4)

$a^{\mu }b^{\mu }=(ab)^{\mu },\quad a^{\mu }:b^{\mu }=(a:b)^{\mu }$

今 $\mu ={\frac {m}{n}}$，$\nu ={\frac {p}{q}}$ と置き，便利の爲め $p$，$q$ は正の整數なりと定むるときは (1) の第一等式は畢竟

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}{\sqrt[{q}]{a^{p}}}={\sqrt[{nq}]{a^{mq+pn}}}$

なる等式に外ならず，之を驗證せんと欲せば兩邊の $nq$ 次の冪を比較すべし．

左邊の $nq$ 次の冪は

$({\sqrt[{n}]{a^{m}}})^{nq}({\sqrt[{q}]{a^{p}}})^{nq}=a^{mq}\cdot a^{np}=a^{mq+np}$