( 1 + ε ) n > 1 + n ε {\displaystyle (1+\varepsilon )^{n}>1+n\varepsilon } にして，此數は n {\displaystyle n} を限りなく增大して以て竟に如何なる數をも超えしめ得べき者なり．
是故に a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} の極限は 1 {\displaystyle 1} なり． a {\displaystyle a} が 1 {\displaystyle 1} より小なるときは a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} は a {\displaystyle a} と共に增大して限りなく 1 {\displaystyle 1} に近迫す．
（二）
冪の定義を擴張して指數が有理數なる場合に及ぼさんとせば，整の指數につきて一般に成立すべき
なる關係を基礎とすべし．此法則にして犯すべからずとせられなば μ = m n {\displaystyle \mu ={\frac {m}{n}}} を指數とせる羃に之を適用して
を得．卽ち a μ {\displaystyle a^{\mu }} は之を n {\displaystyle n} 次の羃の昂上して， a m {\displaystyle a^{m}} と等しからしむべき數なり．隨て
にして，此數は 
を限りなく增大して以て竟に如何なる數をも超えしめ得べき者なり．
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7873203eb76042fcd24056c553de8c86054a2df)
の極限は 
なり．
が より小なるときは は と共に增大して限りなく に近迫す．
を指數とせる羃に之を適用して
は之を 次の羃の昂上して，
と等しからしむべき數なり．隨て
