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（一）

冪根の變動

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(3)

$a>1,m>n$ ならば $1<{\sqrt[{m}]{a}}<{\sqrt[{n}]{a}}$

又

$a<1,m>n$ ならば $1>{\sqrt[{m}]{a}}>{\sqrt[{n}]{a}}$

之を證明するには兩邊の $mn$ 次の冪を比較すべし．$({\sqrt[{m}]{a}})^{mn}=a^{n}$，$({\sqrt[{n}]{a}})^{mn}=a^{m}$ にして $a$ の $1$ より大又は小なるに從ひ $a^{m}$ は $a^{n}$ よりも大又は小なり．

$a$ の $1$ より大なるときは $n$ の增大するに伴ひて ${\sqrt[{n}]{a}}$ は減小す．$n$ 愈〻增大して止まずば ${\sqrt[{n}]{a}}$ は愈〻 $1$ に近迫して究まる所なし．

證．先づ ${\sqrt[{n}]{a}}$ は $n$ の增大するとき減小すれども決して $1$ を下らざるが故に ${\sqrt[{n}]{a}}$ は $1$ より小ならざる極根を有す．今假に此極限 $1$ より大なりとせば，之を $1+\varepsilon \ (\varepsilon >0)$ と名づくるに

${\sqrt[{n}]{a}}\geqq 1+\varepsilon$ 卽ち $a\geqq (1+\varepsilon )^{n}$

は $n$ が如何なる自然數なりとも常に成立すべきなり．然れどもこれ有り得べからざる事に屬す．げにも $(1+\varepsilon )^{n+1}=(1+\varepsilon )^{n}(1+\varepsilon )=(1+\varepsilon )^{n}+\varepsilon (1+\varepsilon )^{n}>(1+\varepsilon )^{n}+\varepsilon$ 卽ち $(1+\varepsilon )^{n}$ は指數 $1$ を加ふる每に $\varepsilon$ より小ならざる增大を來すが故に