Page:Shinshiki Sanjutsu Kogi 00.djvu/413

397

（四）

無限列數の極限と四則

---

つを任意に採りて之を $\mu$ と名づく．今 $\varepsilon$ を隨意に與へ，さて ${\frac {\varepsilon }{\mu }}$ を作り $\alpha -a_{n}$，$\beta -b_{n}$ 共に絕對的に ${\frac {\varepsilon }{\mu }}$ を超えざるが如き附數の限界を定むるに，此限界以上の $n$ につきては

$\alpha \beta -a_{n}b_{n}$

は絕對値に於て $\varepsilon$ を超えず．積の場合完了す．

商の場合に於て計算節儉の爲，先づ $\beta$ の $0$ ならざるとき，$b_{n}$ の中 $0$ なるものなしと定めて

${\frac {1}{b_{1}}},{\frac {1}{b_{2}}},\ldots {\frac {1}{b_{n}}},\ldots$

の極限 ${\frac {1}{\beta }}$ なるべきを辯ぜん．先づ

${\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{b_{n}}}={\frac {b_{n}-\beta }{\beta b_{n}}}$

$b_{n}$ は決して $0$ に等しからず，又 $\beta$ は $0$ にあらず，故に絕對値に於て $b_{n}$ の下限は $0$ にあらざる或正數 $\gamma$ にして $\beta$ も亦絕對値に於て $\gamma$ を下らず．故に $\beta b_{n}$ の絕對値は $\gamma ^{2}$ より小ならず．さて $\varepsilon$ の與へられたるとき附數 $n$ の限界を適當