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八

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量の連續性及無理數の起源

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は ${\frac {m}{n}}$ よりも大又は小なりといふ．卽ち

$nA\gtrless mB$ 卽ち ${\frac {A}{m}}\gtrless {\frac {B}{n}}$ と共に $A:B\gtrless {\frac {m}{n}}$

例へば $A$ を $B$ を一邊とせる平方形の對角線となすとき，$m$，$n$ を $1$，$2$ となさば $A<2B$ なるが故に

$A:B<2$

又 $m$，$n$ を $2$，$1$ となさば $2A>B$ なるが故に $A:B>{\frac {1}{2}}$

第一定義は $A:B$ なる者に，有理數に對する大小の順序に於て一定の位置を與ふ．$A:B$ なる者には本來定まれる意義あるにあらずして，吾輩のユークリツドと與に今新に其意義を定めんとするものなるが故に，$A:B$ と有理數との大小の關係は自家撞着に陷らざる限り，隨意に之を定めて不可あることなし．然れども大小相等の語には旣に慣用の意義あるが故に，此意義に協はざる凡ての新定義は無益にして有害なり．玆に於て次の三點につきて，上文の第一定義を詮衡するの必要を生ず．