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（二）

順及逆の算法

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へりや否や．之を審査するに當り先づ次の事實より始めんとす．

七，$\mu =a*b$，$\mu '=a'*b'$，$\mu ''=a''*b''$ となすとき，五に從ひて $\mu =\mu '$，$\mu =\mu ''$ ならば必ず，又 $\mu '=\mu ''$ なり．

げにも $\mu =\mu '$，$\mu =\mu ''$ より五によりて $a'\circ b=a\circ b'$，$a\circ b''=a''\circ b$ を得，一，二，三を本來の數 $a$，$a'$，$a''$，$b$，$b'$，$b''$，に適用して $(a'\circ b'')\circ (a\circ b)=a''\circ b'\circ (a\circ b)$ を得更に二によりて $a'\circ b''=a''\circ b'$ 卽ち五に從ひて $\mu '=\mu ''$

さて一を驗證せんが爲に $\mu =a*b$，$\mu '=a'*b'$，$\nu =c*d$，$\nu '=c'*d'$ と置き $\mu =\mu '$，$\nu =\nu '$ より $\mu \circ \nu =\mu '\circ \nu '$ を得んとす．先づ

$\mu \circ \nu =(a\circ c)*(b\circ d);\qquad \mu '\circ \nu '=(a'\circ c')*(b'\circ d')$

よりて $\mu \circ \nu =\mu '\circ \nu '$ は五によりて $(a\circ c)\circ (b'\circ d')=(a'\circ c')\circ (b\circ d)$ に歸す．而も此等式は $\mu =\mu '$，$\nu =\nu '$ より得べき $a\circ b'=a'\circ b$，$c\circ d'=c'\circ d$ によりて保證せられたり．

組み合はせの法則は $(a*b)\circ (a'*b')\circ (a''*b'')=(a\circ a'\circ a'')*(b\circ b'\circ b'')$