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（十一）

小數の加法減法

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よりすとなし，循環週期に屬する數字の中 $t^{k}$ の位に先てるものをば循環せざる部分に編入し，次に $\gamma$，$\gamma '$ の循環週期の位數 $c$，$c'$ の最小公倍數を $m$ とし $m=\mu c=\mu 'c'$ となし，$\gamma$ にありては週期 $\mu$ 囘，$\gamma '$ にありては週期 $\mu '$ 囘を列記して，雙方共に形式上同位 $t^{k}$ に始まれる，同位數 $m$ の週期を有せる循環小數となす．さて $\gamma$，$\gamma '$ に於ける $t^{k}$ の位以上の係數を其儘とりて作りたる整數を $A$，$A'$，又 $t^{k}$ より $t^{k+m}$ に至る延長週期の係數より作りたる整數を $C$，$C'$ と名づく．$\gamma$，$\gamma '$ の形式次の如し．

${\begin{aligned}\gamma &=(ACC\cdots )=\left(A+{\frac {C}{t^{m}-1}}\right)t^{k+1}\\\gamma '&=(A'C'C'\cdots )=\left(A'+{\frac {C'}{t^{m}-1}}\right)t^{k+1}\end{aligned}}$

$\gamma$，$\gamma '$ の和を計算するに先 $C$，$C'$ の和を求むべし，$C$，$C'$ はいづれも $m$ 位の整數なり其和もし $t^{m}$ より小ならば，是直に $\gamma +\gamma '$ の循環週期なり．$C+C'$ 若し $t^{m}$ に達せば $C+C'=t^{m}+S$ となすとき $S$ は $m$ 位の整數にして

${\frac {C}{t^{m}-1}}+{\frac {C'}{t^{m}-1}}=1+{\frac {S+1}{t^{m}-1}}$